Optimización convexa - Norma

Una norma es una función que le da un valor estrictamente positivo a un vector o una variable.

La norma es una función $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Las características básicas de una norma son:

Sea $ X $ un vector tal que $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ derecha \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ lefttrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ izquierda \ | \ alpha x \ derecha \ | = \ izquierda | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ en X y \: \ alpha \: es \: a \: escalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ derecha \ | + \ izquierda \ | y \ right \ | \ para todo x, y \ en X $
$ \ left \ | xy \ derecha \ | \ geq \ izquierda \ | \ left \ | x \ derecha \ | - \ izquierda \ | y \ right \ | \ right \ | $

Por definición, la norma se calcula de la siguiente manera:

$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

La norma es una función continua.

Prueba

Por definición, si $ x_n \ rightarrow x $ en $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ entonces $ f \ left (x \ right) $ es una función constante.

Sea $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

Como $ x_n \ rightarrow x $ así, $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Por lo tanto $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Por tanto, la norma es una función continua.

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