Optimización convexa: condiciones de Fritz-John
Condiciones necesarias
Teorema
Considere el problema - $ min f \ left (x \ right) $ tal que $ x \ en X $ donde X es un conjunto abierto en $ \ mathbb {R} ^ n $ y sea $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i = 1,2, .... m $.
Sea $ f: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ y $ g_i: X \ rightarrow \ mathbb {R} $
Sea $ \ hat {x} $ una solución factible y sean f y $ g_i, i \ en I $ diferenciables en $ \ hat {x} $ y $ g_i, i \ en J $ son continuas en $ \ hat { x} $.
Si $ \ hat {x} $ resuelve el problema anterior localmente, entonces existe $ u_0, u_i \ in \ mathbb {R}, i \ in I $ tal que $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ derecha) + \ Displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
donde $ u_0, u_i \ geq 0, i \ in I $ y $ \ left (u_0, u_I \ right) \ neq \ left (0,0 \ right) $
Además, si $ g_i, i \ en J $ también son diferenciables en $ \ hat {x} $, entonces las condiciones anteriores se pueden escribir como -
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $
$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
$ u_0, u_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, ...., m $
$ \ left (u_0, u \ right) \ neq \ left (0,0 \ right), u = \ left (u_1, u_2, s, u_m \ right) \ in \ mathbb {R} ^ m $
Observaciones
$ u_i $ se denominan multiplicadores lagrangianos.
La condición de que $ \ hat {x} $ sea factible para el problema dado se llama condición factible primaria.
El requisito $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left (x \ right) = 0 $ se llama factibilidad dual condición.
La condición $ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, i = 1, 2, ... m $ se llama condición de holgura complementaria. Esta condición requiere $ u_i = 0, i \ in J $
Juntas, la condición de factibilidad primaria, la condición de factibilidad dual y la holgura complementaria se denominan Condiciones de Fritz-John.
Condiciones suficientes
Teorema
Si existe un $ \ varepsilon $ -vecino de $ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right), \ varepsilon> 0 $ tal que f es pseudoconvexo sobre $ N_ \ varepsilon \ left ( \ hat {x} \ right) \ cap S $ y $ g_i, i \ in I $ son estrictamente pseudoconvexos sobre $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $, luego $ \ hat { x} $ es la solución local óptima al problema descrito anteriormente. Si f es pseudoconvexa en $ \ hat {x} $ y si $ g_i, i \ en I $ son funciones estrictamente pseudoconvexas y cuasiconvexas en $ \ hat {x}, \ hat {x} $ es la solución global óptima al problema descrito arriba.
Ejemplo
$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $
tal que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5, x_1 + 2x_2 \ leq 4, x_1, x_2 \ geq 0 $ Y $ \ hat {x} = \ left (2 , 1 \ derecha) $
Sea $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_1 + 2x_2-4, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_1 $ y $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = -x_2 $.
Por lo tanto, las restricciones anteriores se pueden escribir como:
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ y
$ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Por lo tanto, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ por lo tanto, $ u_3 = 0, u_4 = 0 $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right ) $ y $ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $
Así, poniendo estos valores en la primera condición de las condiciones de Fritz-John, obtenemos:
$ u_0 = \ frac {3} {2} u_2, \: \: u_1 = \ frac {1} {2} u_2, $ y sea $ u_2 = 1 $, por lo tanto $ u_0 = \ frac {3} {2} , \: \: u_1 = \ frac {1} {2} $
Así se cumplen las condiciones de Fritz John.
$ min f \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_1 $.
tal que $ x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 \ leq 0 $,
$ -x_2 \ leq 0 $ y $ \ hat {x} = \ left (1,0 \ right) $
Deje $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 $,
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $
Por lo tanto, las restricciones anteriores se pueden escribir como:
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
Por lo tanto, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (-1,0 \ right) $
$ \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0,1 \ right) $ y $ g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0, -1 \ right PS
Así, poniendo estos valores en la primera condición de las condiciones de Fritz-John, obtenemos:
$ u_0 = 0, \: \: u_1 = u_2 = a> 0 $
Así se cumplen las condiciones de Fritz John.