Optimización convexa: conjunto afín
Se dice que un conjunto $ A $ es un conjunto afín si, para dos puntos distintos, la línea que pasa por estos puntos se encuentra en el conjunto $ A $.
Note -
$ S $ es un conjunto afín si y solo si contiene todas las combinaciones afines de sus puntos.
Los conjuntos vacíos y singleton son conjuntos afines y convexos.
Por ejemplo, la solución de una ecuación lineal es un conjunto afín.
Prueba
Sea S la solución de una ecuación lineal.
Por definición, $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $
Sea $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ y $ Ax_2 = b $
Para probar: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $
$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right ) b = b $
Por tanto, S es un conjunto afín.
Teorema
Si $ C $ es un conjunto afín y $ x_0 \ en C $, entonces el conjunto $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ es un subespacio de C.
Prueba
Sea $ x_1, x_2 \ en V $
Para mostrar: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $ por algunos $ \ alpha, \ beta $
Ahora, $ x_1 + x_0 \ en C $ y $ x_2 + x_0 \ en C $ por definición de V
Ahora, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 PS
Pero $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ en C $ porque C es un conjunto afín .
Por lo tanto, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $
Por lo tanto probado.