Optimización convexa - Teorema de Weierstrass

Sea S un conjunto no vacío, cerrado y acotado (también llamado conjunto compacto) en $ \ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función continua en S, entonces el problema min $ \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $ alcanza su mínimo.

Prueba

Dado que S no está vacío y está acotado, existe un límite inferior.

$ \ alpha = Inf \ left \ {f \ left (x \ right): x \ in S \ right \} $

Ahora sea $ S_j = \ left \ {x \ in S: \ alpha \ leq f \ left (x \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ j \ right \} \ forall j = 1,2, ... $ y $ \ delta \ in \ left (0,1 \ right) $

Según la definición de infimium, $ S_j $ no está vacío, para cada $ j $.

Elija $ x_j \ en S_j $ para obtener una secuencia $ \ left \ {x_j \ right \} $ para $ j = 1,2, ... $

Como S está acotada, la secuencia también está acotada y hay una subsecuencia convergente $ \ left \ {y_j \ right \} $, que converge a $ \ hat {x} $. Por tanto, $ \ hat {x} $ es un punto límite y S es cerrado, por lo tanto, $ \ hat {x} \ en S $. Como f es continua, $ f \ left (y_i \ right) \ rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) $.

Desde $ \ alpha \ leq f \ left (y_i \ right) \ leq \ alpha + \ delta ^ k, \ alpha = \ displaystyle \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} f \ left (y_i \ right) = f \ left ( \ hat {x} \ right) $

Por tanto, $ \ hat {x} $ es la solución minimizadora.

Observaciones

Hay dos importantes condiciones necesarias para que se mantenga el teorema de Weierstrass. Estos son los siguientes:

• Step 1 - El conjunto S debe ser un conjunto acotado.

  Considere la función f \ left (x \ right) = x $.

  Es un conjunto ilimitado y tiene mínimos en cualquier punto de su dominio.

  Por lo tanto, para obtener los mínimos, S debe estar acotado.

• Step 2 - El conjunto S debe estar cerrado.

  Considere la función $ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ en el dominio \ left (0,1 \ right).

  Esta función no está cerrada en el dominio dado y sus mínimos tampoco existen.

  Por lo tanto, para que se obtengan los mínimos, S debe estar cerrado.