Optimización convexa: casco

El casco convexo de un conjunto de puntos en S es el límite de la región convexa más pequeña que contiene todos los puntos de S en su interior o en su límite.

O

Sea $ S \ subseteq \ mathbb {R} ^ n $ El casco convexo de S, denotado $ Co \ left (S \ right) $ por es la colección de todas las combinaciones convexas de S, es decir, $ x \ en Co \ left (S \ right) $ si y solo si $ x \ in \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $, donde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ n \ lambda_i = 1 $ y $ \ lambda_i \ geq 0 \ forall x_i \ in S $

Remark - Conves casco de un conjunto de puntos en S en el plano define un polígono convexo y los puntos de S en el límite del polígono definen los vértices del polígono.

Theorem $ Co \ left (S \ right) = \ left \ {x: x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i, x_i \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 \ right \} $ Demuestre que un casco convexo es un conjunto convexo.

Prueba

Deje $ x_1, x_2 \ in Co \ left (S \ right) $, luego $ x_1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $ y $ x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ \ gamma x_i $ donde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 $ y $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = 1, \ gamma_i \ geq0 $

Para $ \ theta \ in \ left (0,1 \ right), \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i + \ left (1- \ theta \ derecha) \ Displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_ix_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i \ theta x_i + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i \ izquierda (1- \ theta \ right) x_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ derecha] x_i $

Considerando los coeficientes,

$ \ Displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ right] = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ n \ lambda_i + \ left (1- \ theta \ right) \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = \ theta + \ left (1- \ theta \ right) = 1 $

Por lo tanto, $ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ in Co \ left (S \ right) $

Por tanto, un casco convexo es un conjunto convexo.