Función estrictamente cuasiconvexa

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ entonces se dice que f es estrictamente una función cuasicovexa si para cada $ x_1, x_2 \ en S $ con $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, tenemos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Observaciones

  • Cada función estrictamente cuasiconvexa es estrictamente convexa.
  • La función estrictamente cuasiconvexa no implica cuasiconvexidad.
  • La función estrictamente cuasiconvexa puede no ser muy cuasiconvexa.
  • La función pseudoconvexa es una función estrictamente cuasiconvexa.

Teorema

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ una función estrictamente cuasiconvexa y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $. Considere el problema: $ min \: f \ left (x \ derecha), x \ en S $. Si $ \ hat {x} $ es la solución óptima local, entonces $ \ bar {x} $ es la solución óptima global.

Prueba

Deje que exista $ \ bar {x} \ en S $ tal que $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Como $ \ bar {x}, \ hat {x} \ en S $ y S es un conjunto convexo, por lo tanto,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Como $ \ hat {x} $ es el mínimo local, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ sombrero {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Dado que f es estrictamente cuasiconvexo.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

Por tanto, es una contradicción.

Función estrictamente cuasicóncava

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces f es una función estrictamente cuasicovexa si para cada $ x_1, x_2 \ in S $ con $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, tenemos

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Ejemplos

  • $ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

    Es una función estrictamente cuasiconvexa porque si tomamos dos puntos cualesquiera $ x_1, x_2 $ en el dominio que satisfacen las restricciones en la definición $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ A medida que la función disminuye en el eje x negativo y aumenta en el eje x positivo ( ya que es una parábola).

  • $ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

    No es una función estrictamente cuasiconvexa porque si tomamos $ x_1 = 1 $ y $ x_2 = -1 $ y $ \ lambda = 0.5 $, entonces $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ pero $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Por lo tanto, no satisface las condiciones establecidas en la definición. Pero es una función cuasicóncava porque si tomamos dos puntos cualesquiera en el dominio que satisfacen las restricciones en la definición $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $. A medida que la función aumenta en el eje x negativo y disminuye en el eje x positivo.