Optimización convexa: producto interior

El producto interno es una función que da un escalar a un par de vectores.

Producto interno - $ f: \ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ kappa $ donde $ \ kappa $ es un escalar.

Las características básicas del producto interior son las siguientes:

Sea $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

  • $ \ left \ langle x, x \ right \ rangle \ geq 0, \ forall x \ in X $

  • $ \ left \ langle x, x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0, \ forall x \ in X $

  • $ \ left \ langle \ alpha x, y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x, y \ right \ rangle, \ forall \ alpha \ in \ kappa \: y \: \ forall x, y \ in X PS

  • $ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ langle x, z \ right \ rangle + \ left \ langle y, z \ right \ rangle, \ forall x, y, z \ in X $

  • $ \ left \ langle \ overline {y, x} \ right \ rangle = \ left (x, y \ right), \ forall x, y \ en X $

Note -

  • Relación entre norma y producto interno: $ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left (x, x \ right)} $

  • $ \ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ n, \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n $

Ejemplos

1. encontrar el producto interno de $ x = \ left (1,2,1 \ right) \: y \: y = \ left (3, -1,3 \ right) $

Solución

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 $

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = \ left (1 \ times3 \ right) + \ left (2 \ times-1 \ right) + \ left (1 \ times3 \ right) $

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = 3 + \ left (-2 \ right) + 3 $

$ \ left \ langle x, y \ right \ rangle = 4 $

2. Si $ x = \ left (4,9,1 \ right), y = \ left (-3,5,1 \ right) $ y $ z = \ left (2,4,1 \ right) $, encontrar $ \ left (x + y, z \ right) $

Solución

Como sabemos, $ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ langle x, z \ right \ rangle + \ left \ langle y, z \ right \ rangle $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left (x_1z_1 + x_2z_2 + x_3z_3 \ right) + \ left (y_1z_1 + y_2z_2 + y_3z_3 \ right) $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ {\ left (4 \ times 2 \ right) + \ left (9 \ times 4 \ right) + \ left (1 \ times1 \ right) \ right \} + $

$ \ left \ {\ left (-3 \ times2 \ right) + \ left (5 \ times4 \ right) + \ left (1 \ times 1 \ right) \ right \} $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left (8 + 36 + 1 \ right) + \ left (-6 + 20 + 1 \ right) $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 45 + 15 $

$ \ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 60 $