Transformaciones Z (ZT)

El análisis de sistemas LTI de tiempo continuo se puede realizar mediante transformadas z. Es una poderosa herramienta matemática para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.

La transformada z bilateral (bilateral) de una señal de tiempo discreta x (n) se da como

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La transformada z unilateral (unilateral) de una señal de tiempo discreta x (n) se da como

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La transformada Z puede existir para algunas señales para las que no existe la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT).

Concepto de transformación Z y transformación Z inversa

La transformada Z de una señal de tiempo discreta x (n) se puede representar con X (Z), y se define como

$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $

Si $ Z = re ^ {j \ omega} $ entonces la ecuación 1 se convierte en

$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $

$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $

La ecuación anterior representa la relación entre la transformada de Fourier y la transformada Z.

$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. PS

Transformada Z inversa

$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $

$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $

$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) PS

Sustituye $ re ^ {j \ omega} = z $.

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $

Sustituye en la ecuación 3.

$ 3 \, \ a \, x (n) = {1 \ sobre 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ sobre j} z ^ {- 1} dz = {1 \ sobre 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $