Transformadas de Fourier

El principal inconveniente de la serie de Fourier es que solo es aplicable a señales periódicas. Hay algunas señales producidas naturalmente, como no periódicas o aperiódicas, que no podemos representar utilizando series de Fourier. Para superar esta deficiencia, Fourier desarrolló un modelo matemático para transformar señales entre el dominio del tiempo (o espacial) en el dominio de la frecuencia y viceversa, que se denomina "transformada de Fourier".

La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en física e ingeniería, como análisis de sistemas LTI, RADAR, astronomía, procesamiento de señales, etc.

Derivación de la transformada de Fourier de la serie de Fourier

Considere una señal periódica f (t) con período T. La representación en serie compleja de Fourier de f (t) se da como

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

Sea $ {1 \ over T_0} = \ Delta f $, entonces la ecuación 1 se convierte en

$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

pero sabes que

    $ a_k = {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

Sustituya en la ecuación 2.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

Sea $ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

En el límite cuando $ T \ a \ infty, \ Delta f $ se acerca al diferencial $ df, k \ Delta f $ se convierte en una variable continua $ f $ y la suma se convierte en integración

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Donde} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

Transformada de Fourier de una señal $$ f (t) = F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $$

La transformada de Fourier inversa es $$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

Transformada de Fourier de funciones básicas

Veamos la Transformada de Fourier de funciones básicas:

Función FT de GATE

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$


FT de la función de impulso

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ por lo tanto \ delta (\ omega) = 1 $


FT de la función de paso unitario:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $


FT de exponenciales

$ e ^ {- en} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- en} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $


Función FT de Signum

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

Condiciones para la existencia de la transformada de Fourier

Cualquier función f (t) se puede representar usando la transformada de Fourier solo cuando la función satisface las condiciones de Dirichlet. es decir

  • La función f (t) tiene un número finito de máximos y mínimos.

  • Debe haber un número finito de discontinuidades en la señal f (t), en el intervalo de tiempo dado.

  • Debe ser absolutamente integrable en el intervalo de tiempo dado, es decir

    $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Transformadas de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) o la transformada de Fourier de una secuencia de tiempo discreto x [n] es una representación de la secuencia en términos de la secuencia exponencial compleja $ e ^ {j \ omega n} $.

La secuencia DTFT x [n] está dada por

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

Aquí, X (ω) es una función compleja de la variable de frecuencia real ω y se puede escribir como

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

Donde X re (ω), X img (ω) son partes reales e imaginarias de X (ω) respectivamente.

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

Y X (ω) también se puede representar como $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | e ^ {j \ theta (ω)} $

Donde $ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $ se denominan espectros de magnitud y fase de X (ω).

Transformada de Fourier de tiempo discreto inverso

$$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

Condición de convergencia:

La serie infinita en la ecuación 1 puede ser convergente o no. x (n) es absolutamente sumable.

$$ \ text {cuando} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Una secuencia absolutamente sumable tiene siempre una energía finita, pero una secuencia de energía finita no necesariamente debe ser absolutamente sumable.