Teorema de muestreo de señales
Statement:Una señal de tiempo continuo puede representarse en sus muestras y recuperarse cuando la frecuencia de muestreo f s es mayor o igual al doble de la componente de frecuencia más alta de la señal de mensaje. es decir
$$ f_s \ geq 2 f_m. $$
Proof:Considere una señal de tiempo continua x (t). El espectro de x (t) es una banda limitada a f m Hz, es decir, el espectro de x (t) es cero para | ω |> ω m .
El muestreo de la señal de entrada x (t) se puede obtener multiplicando x (t) con un tren de impulsos δ (t) de período T s . La salida del multiplicador es una señal discreta llamada señal muestreada que se representa con y (t) en los siguientes diagramas:
Aquí, puede observar que la señal muestreada toma el período de impulso. El proceso de muestreo se puede explicar mediante la siguiente expresión matemática:
$ \ text {Señal muestreada} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $
La representación trigonométrica en serie de Fourier de $ \ delta $ (t) está dada por
$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos n \ omega_s t + b_n \ sin n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $
Donde $ a_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) dt = {1 \ over T_s} \ delta (0) = {1 \ over T_s PS
$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ over T} $
$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin n \ omega_s 0 = 0 $
Sustituye los valores anteriores en la ecuación 2.
$ \ por lo tanto \, \ delta (t) = {1 \ sobre T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ sobre T_s} \ cos n \ omega_s t + 0) $
Sustituye δ (t) en la ecuación 1.
$ \ a y (t) = x (t). \ delta (t) $
$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $
$ = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $
$ y (t) = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) PS
Tome la transformada de Fourier en ambos lados.
$ Y (\ omega) = {1 \ over T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $
$ \ por lo tanto \, \, Y (\ omega) = {1 \ sobre T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad donde \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $
Para reconstruir x (t), debe recuperar el espectro de señal de entrada X (ω) del espectro de señal muestreado Y (ω), lo cual es posible cuando no hay superposición entre los ciclos de Y (ω).
Los siguientes diagramas dan la posibilidad de muestreo de espectro de frecuencias con diferentes condiciones:
Efecto de alias
La región superpuesta en caso de muestreo insuficiente representa el efecto de aliasing, que se puede eliminar mediante
considerando f s > 2f m
Utilizando filtros anti aliasing.