Propiedades de las transformadas de Fourier

Estas son las propiedades de la transformada de Fourier:

Propiedad de linealidad

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Entonces la propiedad de linealidad establece que

$ ax (t) + por (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X (\ omega) + b Y (\ omega) $

Propiedad de cambio de tiempo

$ \ text {If} \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Entonces, la propiedad de cambio de tiempo establece que

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- j \ omega t_0} X (\ omega) $

Propiedad de cambio de frecuencia

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Entonces la propiedad de desplazamiento de frecuencia establece que

$ e ^ {j \ omega_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega - \ omega_0) $

Propiedad de inversión de tiempo

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Entonces, la propiedad de inversión del tiempo establece que

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (- \ omega) $

Propiedad de escala de tiempo

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Entonces, la propiedad de escala de tiempo establece que

$ x (en) {1 \ over | \, a \, |} X {\ omega \ over a} $

Propiedades de diferenciación e integración

$ Si \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

Entonces la propiedad de diferenciación establece que

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega. X (\ omega) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} (j \ omega) ^ n. X (\ omega) $

y la propiedad de integración establece que

$ \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X (\ omega) $

$ \ iiint ... \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over (j \ omega) ^ n} X (\ omega) $

Propiedades de multiplicación y convolución

$ \ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) $

$ \ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega) $

Entonces la propiedad de la multiplicación establece que

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) * Y (\ omega) $

y la propiedad de convolución establece que

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X (\ omega) .Y (\ omega) $