Convolución y correlación

Circunvolución

La convolución es una operación matemática que se utiliza para expresar la relación entre la entrada y la salida de un sistema LTI. Relaciona la respuesta de entrada, salida y impulso de un sistema LTI como

$$ y (t) = x (t) * h (t) $$

Donde y (t) = salida de LTI

x (t) = entrada de LTI

h (t) = respuesta al impulso de LTI

Hay dos tipos de convoluciones:

  • Convolución continua

  • Convolución discreta

Convolución continua

$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

(o)

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $

Convolución discreta

$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $

(o)

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $

Al usar la convolución, podemos encontrar la respuesta de estado cero del sistema.

Deconvolución

La deconvolución es un proceso inverso a la convolución ampliamente utilizado en el procesamiento de señales e imágenes.

Propiedades de la convolución

Propiedad conmutativa

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Propiedad distributiva

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $

Propiedad asociativa

$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Cambio de propiedad

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Convolución con impulso

$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $

$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $

Convolución de pasos unitarios

$ u (t) * u (t) = r (t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $

Propiedad de escala

Si $ x (t) * h (t) = y (t) $

entonces $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $

Diferenciación de salida

si $ y (t) = x (t) * h (t) $

entonces $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $

o

$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $

Note:

  • La convolución de dos secuencias causales es causal.

  • La convolución de dos secuencias anticausal es anticausal.

  • La convolución de dos rectángulos de longitud desigual da como resultado un trapecio.

  • La convolución de dos rectángulos de igual longitud da como resultado un triángulo.

  • Una función enrevesada en sí misma es igual a la integración de esa función.

Example: Sabes que $ u (t) * u (t) = r (t) $

De acuerdo con la nota anterior, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $

Aquí, obtiene el resultado simplemente integrando $ u (t) $.

Límites de la señal enrevesada

Si dos señales están enrevesadas, la señal enrevesada resultante tiene el siguiente rango:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Ej .: encuentre el rango de convolución de las señales que se indican a continuación

Aquí, tenemos dos rectángulos de longitud desigual para convolucionar, lo que resulta en un trapecio.

El rango de señal intrincada es:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

$ -1 + -2 <t <2 + 2 $

$ -3 <t <4 $

Por tanto, el resultado es un trapecio con período 7.

Área de señal retorcida

El área bajo la señal intrincada está dada por $ A_y = A_x A_h $

Donde A x = área bajo la señal de entrada

A h = área bajo respuesta al impulso

A y = área bajo la señal de salida

Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

Toma la integración en ambos lados

$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $

$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $

Sabemos que el área de cualquier señal es la integración de esa señal en sí.

$ \ por tanto A_y = A_x \, ​​A_h $

Componente DC

La componente CC de cualquier señal viene dada por

$ \ text {componente DC} = {\ text {área de la señal} \ over \ text {período de la señal}} $

Ej: ¿cuál es el componente de cd de la señal convoluta resultante que se muestra a continuación?

Aquí el área de x 1 (t) = largo × ancho = 1 × 3 = 3

área de x 2 (t) = largo × ancho = 1 × 4 = 4

área de la señal convolucionada = área de x 1 (t) × área de x 2 (t)

= 3 × 4 = 12

Duración de la señal convoluta = suma de los límites inferiores <t <suma de los límites superiores

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$ \ por lo tanto $ Dc componente de la señal convolucionada = $ \ text {área de la señal} \ over \ text {período de la señal} $

Componente CC = $ {12 \ over 7} $

Convolución discreta

Veamos cómo calcular la convolución discreta:

i. To calculate discrete linear convolution:

Convolucionar dos secuencias x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Salida convolucionada = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: si dos secuencias cualesquiera tienen m, n número de muestras respectivamente, entonces la secuencia convoluta resultante tendrá [m + n-1] muestras.

Example: Convolucionar dos secuencias x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Salida convolucionada y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Aquí x [n] contiene 3 muestras y h [n] también tiene 3 muestras, por lo que la secuencia resultante tiene 3 + 3-1 = 5 muestras.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

La convolución periódica es válida para la transformada discreta de Fourier. Para calcular la convolución periódica, todas las muestras deben ser reales. La convolución periódica o circular también se denomina convolución rápida.

Si dos secuencias de longitud m, n respectivamente se convolucionan usando una convolución circular, entonces la secuencia resultante tiene un máximo de [m, n] muestras.

Ej: convolucionar dos secuencias x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} usando convolución circular

Salida convolucionada normal y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Aquí x [n] contiene 3 muestras y h [n] también tiene 3 muestras. Por tanto, la secuencia resultante obtenida por convolución circular debe tener un máximo de [3,3] = 3 muestras.

Ahora, para obtener un resultado de convolución periódico, las primeras 3 muestras [ya que el período es 3] de convolución normal es la misma, las siguientes dos muestras se agregan a la primera muestra como se muestra a continuación:

$ \ por lo tanto $ Resultado de convolución circular $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

Correlación

La correlación es una medida de similitud entre dos señales. La fórmula general de correlación es

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$

Hay dos tipos de correlación:

  • Correlación automática

  • Correlación cruzada

Función de correlación automática

Se define como la correlación de una señal consigo misma. La función de correlación automática es una medida de similitud entre una señal y su versión retardada. Está representado con R ($ \ tau $).

Considere una señal x (t). La función de autocorrelación de x (t) con su versión retardada viene dada por

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve turno]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve turno]} $$

Donde $ \ tau $ = parámetro de búsqueda o escaneo o retraso.

Si la señal es compleja, la función de autocorrelación viene dada por

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve turno]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$

Propiedades de la función de autocorrelación de la señal de energía

  • La correlación automática exhibe simetría conjugada, es decir, R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)

  • La función de correlación automática de la señal de energía en el origen, es decir, en $ \ tau $ = 0 es igual a la energía total de esa señal, que se da como:

    R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $

  • Función de correlación automática $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La función de correlación automática es máxima en $ \ tau $ = 0 es decir | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $

  • La función de autocorrelación y las densidades espectrales de energía son pares de transformadas de Fourier. es decir

    $ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $

    $ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Función de correlación automática de señales de potencia

La función de autocorrelación de la señal de potencia periódica con el período T viene dada por

$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$

Propiedades

  • La autocorrelación de la señal de potencia exhibe simetría conjugada, es decir, $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $

  • La función de correlación automática de la señal de potencia en $ \ tau = 0 $ (en el origen) es igual a la potencia total de esa señal. es decir

    $ R (0) = \ rho $

  • Función de correlación automática de la señal de potencia $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La función de correlación automática de la señal de potencia es máxima en $ \ tau $ = 0, es decir,

    $ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • La función de autocorrelación y las densidades espectrales de potencia son pares de transformadas de Fourier. es decir,

    $ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $

    $ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Espectro de densidad

Veamos espectros de densidad:

Espectro de densidad de energía

El espectro de densidad de energía se puede calcular mediante la fórmula:

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$

Espectro de densidad de potencia

El espectro de densidad de potencia se puede calcular mediante la fórmula:

$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$

Función de correlación cruzada

La correlación cruzada es la medida de similitud entre dos señales diferentes.

Considere dos señales x 1 (t) y x 2 (t). La correlación cruzada de estas dos señales $ R_ {12} (\ tau) $ viene dada por

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve turno]} $$

Si las señales son complejas,

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve turno]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve turno]} $ PS

$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve turno]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve turno]} $ PS

Propiedades de la función de correlación cruzada de señales de energía y potencia

  • La correlación automática exhibe simetría conjugada, es decir, $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.

  • La correlación cruzada no es conmutativa como la convolución, es decir

    $$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$

  • Si R 12 (0) = 0 significa, si $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, entonces se dice que las dos señales son ortogonales.

    Para señal de potencia if $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ entonces se dice que dos señales son ortogonales.

  • La función de correlación cruzada corresponde a la multiplicación de los espectros de una señal al conjugado complejo del espectro de otra señal. es decir

    $$ R_ {12} (\ tau) \ flecha izquierda \ flecha derecha X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$

    Esto también se llama teorema de correlación.

Teorema de Parseval

El teorema de Parseval para señales de energía establece que la energía total en una señal se puede obtener mediante el espectro de la señal como

$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $

Note: Si una señal tiene energía E, entonces la versión escalada en el tiempo de esa señal x (at) tiene energía E / a.