Propiedades de las transformadas de Laplace

Las propiedades de la transformada de Laplace son:

Propiedad de linealidad

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

& $ \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Entonces la propiedad de linealidad establece que

$ ax (t) + por (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} a X (s) + b Y (s) $

Propiedad de cambio de tiempo

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Entonces la propiedad de cambio de tiempo establece que

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- st_0} X (s) $

Propiedad de cambio de frecuencia

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Entonces la propiedad de desplazamiento de frecuencia establece que

$ e ^ {s_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s-s_0) $

Propiedad de inversión de tiempo

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Entonces, la propiedad de inversión del tiempo establece que

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (-s) $

Propiedad de escala de tiempo

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Entonces, la propiedad de escala de tiempo establece que

$ x (en) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over | a |} X ({s \ over a}) $

Propiedades de diferenciación e integración

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Entonces la propiedad de diferenciación establece que

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} s. X (s) - s. X (0) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} (s) ^ n. X (s) $

La propiedad de integración establece que

$ \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s} X (s) $

$ \ iiint \, ... \, \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s ^ n} X (s) $

Propiedades de multiplicación y convolución

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

y $ y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Entonces la propiedad de la multiplicación establece que

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi j} X (s) * Y (s) $

La propiedad de convolución establece que

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) .Y (s) $