Series de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier,un matemático y un físico francés; nació en Auxerre, Francia. Inicializó las series de Fourier, las transformadas de Fourier y sus aplicaciones a problemas de transferencia de calor y vibraciones. La serie de Fourier, las transformadas de Fourier y la Ley de Fourier se nombran en su honor.

series de Fourier

Para representar cualquier señal periódica x (t), Fourier desarrolló una expresión llamada serie de Fourier. Esto es en términos de una suma infinita de senos y cosenos o exponenciales. La serie de Fourier utiliza la condición de ortogonalidad.

Representación en serie de Fourier de señales periódicas de tiempo continuo

Se dice que una señal es periódica si satisface la condición x (t) = x (t + T) ox (n) = x (n + N).

Donde T = período de tiempo fundamental,

ω ₀ = frecuencia fundamental = 2π / T

Hay dos señales periódicas básicas:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusoidal) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (exponencial complejo)

Estas dos señales son periódicas con período $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.

Un conjunto de exponenciales complejos armónicamente relacionados se puede representar como {$ \ phi_k (t) $}

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {donde} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

Todas estas señales son periódicas con el período T

De acuerdo con la aproximación del espacio de señal ortogonal de una función x (t) con n, las funciones mutuamente ortogonales están dadas por

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

Donde $ a_k $ = coeficiente de Fourier = coeficiente de aproximación.

Esta señal x (t) también es periódica con el período T.

La ecuación 2 representa la representación en serie de Fourier de la señal periódica x (t).

El término k = 0 es constante.

El término $ k = \ pm1 $ que tiene una frecuencia fundamental $ \ omega_0 $, se denomina 1 ^er armónico.

El término $ k = \ pm2 $ que tiene una frecuencia fundamental $ 2 \ omega_0 $, se llama como 2 ^nd armónicos, y así sucesivamente ...

El término $ k = ± n $ que tiene una frecuencia fundamental $ n \ omega0 $, se denomina n- ^ésimo armónico.

Derivando el coeficiente de Fourier

Sabemos que $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $

Multiplica $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ en ambos lados. Luego

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Considere integral en ambos lados.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

por la fórmula de Euler,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Por tanto, en la ecuación 2, la integral es cero para todos los valores de k excepto en k = n. Pon k = n en la ecuación 2.

$$ \ Flecha derecha \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

Reemplaza n por k.

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ por lo tanto x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {donde} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$