Transformadas de Laplace (LT)
La transformada compleja de Fourier también se denomina transformada bilateral de Laplace. Esto se usa para resolver ecuaciones diferenciales. Considere un sistema LTI del que sale una señal exponencial compleja de la forma x (t) = Ge st .
Donde s = cualquier número complejo = $ \ sigma + j \ omega $,
σ = real de s, y
ω = imaginario de s
La respuesta de LTI se puede obtener mediante la convolución de la entrada con su respuesta de impulso, es decir
$ y (t) = x (t) \ veces h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $
$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $
$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $
Donde H (S) = transformada de Laplace de $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $
De manera similar, la transformada de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $
Relación entre las transformadas de Laplace y Fourier
Transformada de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $
Sustituye s = σ + jω en la ecuación anterior.
$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $
$ \ por lo tanto X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $
$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad para \, \, s = j \ omega $
Transformada de Laplace inversa
Sabes que $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $
$ \ a x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $
$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $
Aquí, $ \ sigma + j \ omega = s $
$ jdω = ds → dω = ds / j $
$ \ por lo tanto x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $
Las ecuaciones 1 y 4 representan Laplace y la transformada de Laplace inversa de una señal x (t).
Condiciones para la existencia de la transformada de Laplace
Las condiciones de Dirichlet se utilizan para definir la existencia de la transformada de Laplace. es decir
La función f (t) tiene un número finito de máximos y mínimos.
Debe haber un número finito de discontinuidades en la señal f (t), en el intervalo de tiempo dado.
Debe ser absolutamente integrable en el intervalo de tiempo dado. es decir
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $
Teoremas del valor inicial y final
Si se conoce la transformada de Laplace de una función desconocida x (t), entonces es posible determinar los valores inicial y final de esa señal desconocida, es decir x (t) en t = 0 + y t = ∞.
Teorema del valor inicial
Statement: si x (t) y su primera derivada es transformable de Laplace, entonces el valor inicial de x (t) viene dado por
$$ x (0 ^ +) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$
Teorema del valor final
Statement: si x (t) y su primera derivada es transformable de Laplace, entonces el valor final de x (t) viene dado por
$$ x (\ infty) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$