Propiedades de Z-Transforms

Z-Transform tiene las siguientes propiedades:

Propiedad de linealidad

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

y $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Entonces la propiedad de linealidad establece que

$ a \, x (n) + b \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} a \, X (Z) + b \, Y (Z) $


Propiedad de cambio de tiempo

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

Entonces, la propiedad de cambio de tiempo establece que

$ x (nm) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} z ^ {- m} X (Z) $

Multiplicación por la propiedad de secuencia exponencial


Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

Luego, la multiplicación por una propiedad de secuencia exponencial establece que

$ a ^ n \,. x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z / a) $


Propiedad de inversión de tiempo

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

Entonces, la propiedad de inversión del tiempo establece que

$ x (-n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (1 / Z) $


Diferenciación en el dominio Z o multiplicación por la propiedad n

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

Luego, la multiplicación por n o la diferenciación en la propiedad del dominio z establece que

$ n ^ kx (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} [-1] ^ kz ^ k {d ^ k X (Z) \ over dZ ^ K} $


Propiedad de convolución

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

y $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Entonces la propiedad de convolución establece que

$ x (n) * y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) .Y (Z) $


Propiedad de correlación

Si $ \, x (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) $

y $ \, y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} Y (Z) $

Entonces la propiedad de correlación establece que

$ x (n) \ otimes y (n) \ stackrel {\ mathrm {ZT}} {\ longleftrightarrow} X (Z) .Y (Z ^ {- 1}) $


Teoremas del valor inicial y del valor final

Los teoremas del valor inicial y del valor final de la transformada z se definen para la señal causal.

Teorema del valor inicial

Para una señal causal x (n), el teorema del valor inicial establece que

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} ⁡X (z) $

Esto se usa para encontrar el valor inicial de la señal sin tomar la transformada z inversa

Teorema del valor final

Para una señal causal x (n), el teorema del valor final establece que

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to 1} [z-1] ⁡X (z) $

Esto se usa para encontrar el valor final de la señal sin tomar la transformada z inversa.

Región de convergencia (ROC) de Z-Transform

El rango de variación de z para el que converge la transformada z se llama región de convergencia de la transformada z.

Propiedades de la ROC de las transformadas Z

  • La ROC de la transformada z se indica con un círculo en el plano z.

  • ROC no contiene polos.

  • Si x (n) es una secuencia causal de duración finita o una secuencia del lado derecho, entonces la ROC es el plano z completo excepto en z = 0.

  • Si x (n) es una secuencia anti-causal de duración finita o una secuencia del lado izquierdo, entonces la ROC es el plano z completo excepto en z = ∞.

  • Si x (n) es una secuencia causal de duración infinita, ROC es exterior del círculo con radio aie | z | > a.

  • Si x (n) es una secuencia anticausal de duración infinita, ROC es el interior del círculo con radio aie | z | <a.

  • Si x (n) es una secuencia de dos lados de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo excepto en z = 0 & z = ∞.

El concepto de ROC se puede explicar con el siguiente ejemplo:

Example 1: Encuentre la transformación z y la ROC de $ a ^ nu [n] + a ^ {-} nu [-n-1] $

$ ZT [a ^ nu [n]] + ZT [a ^ {- n} u [-n-1]] = {Z \ over Za} + {Z \ over Z {-1 \ over a}} $

$$ ROC: | z | \ gt a \ quad \ quad ROC: | z | \ lt {1 \ over a} $$

La gráfica de ROC tiene dos condiciones como a> 1 y a <1, ya que no conoce a.

En este caso, no existe una combinación de ROC.

Aquí, la combinación de ROC es de $ a \ lt | z | \ lt {1 \ over a} $

Por tanto, para este problema, la transformada z es posible cuando a <1.

Causalidad y estabilidad

La condición de causalidad para los sistemas LTI de tiempo discreto es la siguiente:

Un sistema LTI de tiempo discreto es causal cuando

  • La República de China está fuera del polo más externo.

  • En la función de transferencia H [Z], el orden del numerador no puede ser mayor que el orden del denominador.

Condición de estabilidad para sistemas LTI de tiempo discreto

Un sistema LTI de tiempo discreto es estable cuando

  • su función de sistema H [Z] incluye círculo unitario | z | = 1.

  • todos los polos de la función de transferencia se encuentran dentro del círculo unitario | z | = 1.

Transformada Z de señales básicas

x (t) X [Z]
$ \ delta $ 1
$ u (n) $ $ {Z \ over Z-1} $
$ u (-n-1) $ $ - {Z \ over Z-1} $
$ \ delta (nm) $ $ z ^ {- m} $
$ a ^ nu [n] $ $ {Z \ over Za} $
$ a ^ nu [-n-1] $ $ - {Z \ over Za} $
$ n \, a ^ nu [n] $ $ {aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ n \, a ^ nu [-n-1] $ $ - {aZ \ over | Za | ^ 2} $
$ a ^ n \ cos \ omega nu [n] $ $ {Z ^ 2-aZ \ cos \ omega \ sobre Z ^ 2-2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $
$ a ^ n \ sin \ omega nu [n] $ $ {aZ \ sin \ omega \ over Z ^ 2 -2aZ \ cos \ omega + a ^ 2} $