Tipos de la serie Fourier

Serie trigonométrica de Fourier (TFS)

$ \ sin n \ omega_0 t $ y $ \ sin m \ omega_0 t $ son ortogonales sobre el intervalo $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $. Entonces $ \ sin \ omega_0 t, \, \ sin 2 \ omega_0 t $ forma un conjunto ortogonal. Este conjunto no está completo sin {$ \ cos n \ omega_0 t $} porque este conjunto de coseno también es ortogonal al conjunto de seno. Entonces, para completar este conjunto, debemos incluir términos de coseno y seno. Ahora, el conjunto ortogonal completo contiene todos los términos de coseno y seno, es decir, {$ \ sin n \ omega_0 t, \, \ cos n \ omega_0 t $} donde n = 0, 1, 2 ...

$ \ por lo tanto $ Cualquier función x (t) en el intervalo $ (t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0}) $ se puede representar como

$$ x (t) = a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \ cos⁡ 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2 ⁡ \ omega_0 t + ... + a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + ... $$

$$ + b_0 \ sin⁡ 0 \ omega_0 t + b_1 \ sin⁡ 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t + ... $$

$$ = a_0 + a_1 \ cos⁡ 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos 2⁡ \ omega_0 t + ... + a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + ... $$

$$ + b_1 \ sin⁡ 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t + ... $$

$$ \ por lo tanto x (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t) \ quad (t_0 <t <t_0 + T) $$

La ecuación anterior representa la representación trigonométrica de la serie de Fourier de x (t).

$$ \ text {Donde} \, a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · 1 dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ sobre T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) dt $$

$$ a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos⁡ n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$

$$ b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt} $$

$$ \ text {Aquí} \, \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = {T \ over 2} $$

$$ \ por lo tanto a_n = {2 \ sobre T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos⁡ n \ omega_0 t \, dt $$

$$ b_n = {2 \ sobre T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt $$

Serie exponencial de Fourier (EFS)

Considere un conjunto de funciones exponenciales complejas $ \ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \} (n = 0, \ pm1, \ pm2 ...) $ que es ortogonal sobre el intervalo $ (t_0, t_0 + T) $. Donde $ T = {2 \ pi \ over \ omega_0} $. Este es un conjunto completo, por lo que es posible representar cualquier función f (t) como se muestra a continuación

$ f (t) = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $

$ \ quad \ quad \, \, F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $

$$ \ por lo tanto f (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad (t_0 <t <t_0 + T) ..... .. (1) $$

La ecuación 1 representa la representación exponencial en serie de Fourier de una señal f (t) en el intervalo (t ₀ , t ₀ + T). El coeficiente de Fourier se da como

$$ F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t} (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt} $$

$$ \ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {- jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \, dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ por lo tanto F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

Relación entre las series de Fourier trigonométricas y exponenciales

Considere una señal periódica x (t), las representaciones de TFS y EFS se dan a continuación respectivamente

$ x (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t) ... ... (1) $

$ x (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} $

$ \ quad \, \, \, = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ... $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ... $

$ = F_0 + F_1 (\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t) + F_2 (cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F_n (\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t) + ... + F _ {- 1} (\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t) + F _ {- 2} (\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F _ {- n} (\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t) + ... $

$ = F_0 + (F_1 + F _ {- 1}) \ cos \ omega_0 t + (F_2 + F _ {- 2}) \ cos2 \ omega_0 t + ... + j (F_1 - F _ {- 1}) \ sin \ omega_0 t + j (F_2 - F _ {- 2}) \ sin2 \ omega_0 t + ... $

$ \ por lo tanto x (t) = F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ((F_n + F _ {- n}) \ cos n \ omega_0 t + j (F_n-F _ {- n}) \ pecado n \ omega_0 t) ... ... (2) $

Compara la ecuación 1 y 2.

$ a_0 = F_0 $

$ a_n = F_n + F _ {- n} $

$ b_n = j (F_n-F _ {- n}) $

Similar,

$ F_n = \ frac12 (a_n - jb_n) $

$ F _ {- n} = \ frac12 (a_n + jb_n) $