Región de convergencia (ROC)

La variación del rango de σ para la cual converge la transformada de Laplace se llama región de convergencia.

Propiedades de la ROC de la transformada de Laplace

ROC contiene líneas de banda paralelas al eje jω en el plano s.
Si x (t) es absolutamente integral y tiene una duración finita, entonces ROC es el plano s completo.
Si x (t) es una secuencia del lado derecho, entonces ROC: Re {s}> σ _o .
Si x (t) es una secuencia del lado izquierdo, entonces ROC: Re {s} <σ _o .
Si x (t) es una secuencia de dos lados, entonces ROC es la combinación de dos regiones.

ROC se puede explicar haciendo uso de los ejemplos que se dan a continuación:

Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$

$ LT [x (t)] = LT [e - ^ {at} u (t)] = {1 \ over S + a} $

$ Re {} \ gt -a $

$ ROC: Re {s} \ gt> -a $

Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$

$ LT [x (t)] = LT [e ^ {at} u (t)] = {1 \ over Sa} $

$ Re {s} <a $

$ ROC: Re {s} <a $

Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$

$ LT [x (t)] = LT [e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $

Por $ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $

Por $ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $

Con referencia al diagrama anterior, la región de combinación se encuentra de –a a a. Por lo tanto,

$ ROC: -a <Re {s} <a $

Para que un sistema sea causal, todos los polos de su función de transferencia deben estar en la mitad derecha del plano s.
Se dice que un sistema es estable cuando todos los polos de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano s.
Se dice que un sistema es inestable cuando al menos un polo de su función de transferencia se desplaza a la mitad derecha del plano s.
Se dice que un sistema es marginalmente estable cuando al menos un polo de su función de transferencia se encuentra en el eje jω del plano s.

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