Propiedades de la serie Fourier

Estas son las propiedades de la serie de Fourier:

Propiedad de linealidad

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {yn} $

entonces la propiedad de linealidad establece que

$ \ text {a} \, x (t) + \ text {b} \, y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} \ text {a} \, f_ {xn} + \ text {b} \, f_ {yn} $

Propiedad de cambio de tiempo

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

entonces la propiedad de cambio de tiempo establece que

$ x (t-t_0) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} e ^ {- jn \ omega_0 t_0} f_ {xn} $

Propiedad de cambio de frecuencia

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

entonces la propiedad de desplazamiento de frecuencia establece que

$ e ^ {jn \ omega_0 t_0}. x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {x (n-n_0)} $

Propiedad de inversión de tiempo

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

entonces la propiedad de inversión del tiempo establece que

Si $ x (-t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f _ {- xn} $

Propiedad de escala de tiempo

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

entonces la propiedad de escala de tiempo establece que

Si $ x (en) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

La propiedad de escala de tiempo cambia los componentes de frecuencia de $ \ omega_0 $ a $ a \ omega_0 $.

Propiedades de diferenciación e integración

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

entonces la propiedad de diferenciación establece que

Si $ {dx (t) \ over dt} \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} jn \ omega_0. f_ {xn} $

& propiedad de integración establece que

Si $ \ int x (t) dt \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} {f_ {xn} \ over jn \ omega_0} $

Propiedades de multiplicación y convolución

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {yn} $

entonces la propiedad de la multiplicación establece que

$ x (t). y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} T f_ {xn} * f_ {yn} $

& propiedad de convolución establece que

$ x (t) * y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} T f_ {xn}. f_ {yn} $

Propiedades de simetría conjugada y conjugada

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

Luego, la propiedad conjugada establece que

$ x * (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f * _ {xn} $

La propiedad de simetría conjugada para la señal de tiempo de valor real establece que

$$ f * _ {xn} = f _ {- xn} $$

& La propiedad de simetría conjugada para la señal de tiempo de valor imaginario establece que

$$ f * _ {xn} = -f _ {- xn} $$