Transformación y serie de Fourier
En el último tutorial de análisis en el dominio de la frecuencia, discutimos que la serie de Fourier y la transformada de Fourier se utilizan para convertir una señal en el dominio de la frecuencia.
Fourier
Fourier era matemático en 1822. Dio series de Fourier y transformada de Fourier para convertir una señal en el dominio de la frecuencia.
Series de Fourier
La serie de Fourier simplemente establece que las señales periódicas se pueden representar en la suma de senos y cosenos cuando se multiplican con un cierto peso. También establece que las señales periódicas se pueden dividir en otras señales con las siguientes propiedades.
- Las señales son senos y cosenos.
- Las señales son armónicas entre sí
Puede verse pictóricamente como
En la señal anterior, la última señal es en realidad la suma de todas las señales anteriores. Esta fue la idea del Fourier.
Como se calcula
Dado que, como hemos visto en el dominio de la frecuencia, para procesar una imagen en el dominio de la frecuencia, primero debemos convertirla usando en el dominio de la frecuencia y tenemos que tomar la inversa de la salida para convertirla nuevamente en el dominio espacial. Es por eso que tanto la serie de Fourier como la transformada de Fourier tienen dos fórmulas. Uno para conversión y otro para convertirlo de nuevo al dominio espacial.
series de Fourier
La serie de Fourier se puede denotar mediante esta fórmula.
La inversa se puede calcular mediante esta fórmula.
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier simplemente establece que las señales no periódicas cuyo área bajo la curva es finita también se pueden representar en integrales de los senos y cosenos después de multiplicarse por un cierto peso.
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones amplias que incluyen compresión de imágenes (por ejemplo, compresión JPEG), filtrado y análisis de imágenes.
Diferencia entre la serie de Fourier y la transformada
Aunque tanto la serie de Fourier como la transformada de Fourier son dadas por Fourier, pero la diferencia entre ellas es que la serie de Fourier se aplica a señales periódicas y la transformada de Fourier se aplica a señales no periódicas
Cuál se aplica a las imágenes
Ahora la pregunta es cuál se aplica a las imágenes, la serie de Fourier o la transformada de Fourier. Bueno, la respuesta a esta pregunta radica en el hecho de que las imágenes son. Las imágenes no son periódicas. Y dado que las imágenes no son periódicas, la transformada de Fourier se utiliza para convertirlas en el dominio de frecuencia.
Transformada discreta de Fourier
Dado que estamos tratando con imágenes, y de hecho con imágenes digitales, para las imágenes digitales trabajaremos en la transformada discreta de Fourier.
Considere el término de Fourier anterior de una sinusoide. Incluye tres cosas.
- Frecuencia espacial
- Magnitude
- Phase
La frecuencia espacial se relaciona directamente con el brillo de la imagen. La magnitud de la sinusoide se relaciona directamente con el contraste. El contraste es la diferencia entre la intensidad máxima y mínima de píxeles. Phase contiene la información de color.
La fórmula para la transformada de Fourier discreta bidimensional se proporciona a continuación.
La transformada discreta de Fourier es en realidad la transformada de Fourier muestreada, por lo que contiene algunas muestras que denotan una imagen. En la fórmula anterior, f (x, y) denota la imagen y F (u, v) denota la transformada discreta de Fourier. La fórmula para la transformada de Fourier discreta inversa bidimensional se proporciona a continuación.
La transformada de Fourier discreta inversa convierte la transformada de Fourier de nuevo en la imagen
Considere esta señal
Ahora veremos una imagen, cuyo espectro de magnitud FFT calcularemos y luego el espectro de magnitud FFT desplazado y luego tomaremos Log de ese espectro desplazado.
Imagen original
El espectro de magnitud de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier desplazada
El espectro de magnitud desplazada
