Circuitos digitales: formas canónicas y estándar
Obtendremos cuatro términos de producto booleanos combinando dos variables xey con la operación lógica AND. Estos términos de productos booleanos se denominanmin terms o standard product terms. Los términos mínimos son x'y ', x'y, xy' y xy.
De manera similar, obtendremos cuatro términos de suma booleana combinando dos variables xey con la operación lógica OR. Estos términos de suma booleana se denominanMax terms o standard sum terms. Los términos Max son x + y, x + y ', x' + y y x '+ y'.
La siguiente tabla muestra la representación de términos mínimos y términos MAX para 2 variables.
| X | y | Términos mínimos | Términos máximos |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Si la variable binaria es '0', entonces se representa como complemento de la variable en el término mínimo y como la propia variable en el término máximo. De manera similar, si la variable binaria es '1', entonces se representa como complemento de la variable en el término máximo y como la propia variable en el término mínimo.
En la tabla anterior, podemos notar fácilmente que los términos mínimos y los términos máximos se complementan entre sí. Si hay 'n' variables booleanas, entonces habrá 2 n términos mínimos y 2 n términos máximos.
Formularios canónicos SoP y PoS
Una tabla de verdad consta de un conjunto de entradas y salidas. Si hay 'n' variables de entrada, habrá 2 n combinaciones posibles con ceros y unos. Entonces, el valor de cada variable de salida depende de la combinación de variables de entrada. Entonces, cada variable de salida tendrá '1' para alguna combinación de variables de entrada y '0' para alguna otra combinación de variables de entrada.
Por tanto, podemos expresar cada variable de salida de dos formas siguientes.
- Formulario de SoP canónico
- Formulario de PoS canónico
Formulario de SoP canónico
La forma Canonical SoP significa la forma Canonical Sum of Products. De esta forma, cada término de producto contiene todos los literales. Entonces, estos términos de producto no son más que los términos mínimos. Por lo tanto, la forma canónica de SoP también se llama comosum of min terms formar.
Primero, identifique los términos mínimos para los cuales la variable de salida es uno y luego haga el OR lógico de esos términos mínimos para obtener la expresión (función) booleana correspondiente a esa variable de salida. Esta función booleana estará en forma de suma de términos mínimos.
Siga el mismo procedimiento para otras variables de salida también, si hay más de una variable de salida.
Ejemplo
Considera lo siguiente truth table.
| Entradas | Salida | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Aquí, la salida (f) es '1' para cuatro combinaciones de entradas. Los términos mínimos correspondientes son p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Haciendo OR lógico de estos cuatro términos mínimos, obtendremos la función booleana de la salida (f).
Por lo tanto, la función booleana de salida es f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Este es elcanonical SoP formde salida, f. También podemos representar esta función siguiendo dos notaciones.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ izquierda (3,5,6,7 \ derecha) $$
En una ecuación, representamos la función como la suma de los respectivos términos mínimos. En otra ecuación, usamos el símbolo para la suma de esos términos mínimos.
Formulario de PoS canónico
La forma Canonical PoS significa la forma Canonical Product of Sums. De esta forma, cada término de suma contiene todos los literales. Entonces, estos términos de suma no son más que los términos Max. Por lo tanto, la forma canónica de PoS también se llama comoproduct of Max terms formar.
Primero, identifique los términos Max para los cuales la variable de salida es cero y luego haga el AND lógico de esos términos Max para obtener la expresión (función) booleana correspondiente a esa variable de salida. Esta función booleana estará en forma de producto de términos máximos.
Siga el mismo procedimiento para otras variables de salida también, si hay más de una variable de salida.
Example
Considere la misma tabla de verdad del ejemplo anterior. Aquí, la salida (f) es '0' para cuatro combinaciones de entradas. Los términos Max correspondientes son p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Haciendo un AND lógico de estos cuatro términos Max, obtendremos la función booleana de la salida (f).
Por lo tanto, la función booleana de salida es f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). Este es elcanonical PoS formde salida, f. También podemos representar esta función siguiendo dos notaciones.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
En una ecuación, representamos la función como producto de los respectivos términos Max. En otra ecuación, usamos el símbolo para la multiplicación de esos términos Max.
La función booleana, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) es el dual de la función booleana, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Por lo tanto, tanto las formas canónicas SoP como las PoS canónicas son Dualel uno al otro. Funcionalmente, estas dos formas son iguales. Según el requisito, podemos utilizar uno de estos dos formularios.
Formularios estándar de SoP y PoS
Discutimos dos formas canónicas de representar los resultados booleanos. De manera similar, existen dos formas estándar de representar los resultados booleanos. Éstas son la versión simplificada de las formas canónicas.
- Formulario estándar de SoP
- Formulario estándar de PoS
Discutiremos sobre las puertas lógicas en capítulos posteriores. El principaladvantagede las formas estándar es que se puede minimizar el número de entradas aplicadas a las puertas lógicas. A veces, habrá una reducción en el número total de puertas lógicas necesarias.
Formulario estándar de SoP
Forma estándar SoP significa Standard Sum of Productsformar. De esta forma, no es necesario que cada término de producto contenga todos los literales. Por lo tanto, los términos del producto pueden ser o no los términos mínimos. Por lo tanto, la forma SoP estándar es la forma simplificada de la forma SoP canónica.
Obtendremos la forma Standard SoP de la variable de salida en dos pasos.
- Obtener la forma canónica de SoP de la variable de salida
- Simplifique la función booleana anterior, que está en forma de SoP canónica.
Siga el mismo procedimiento para otras variables de salida también, si hay más de una variable de salida. A veces, puede que no sea posible simplificar el formulario de SoP canónico. En ese caso, los formularios SoP canónicos y estándar son iguales.
Example
Convierta la siguiente función booleana en formato SoP estándar.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
La función booleana dada está en forma de SoP canónica. Ahora, tenemos que simplificar esta función booleana para obtener la forma estándar de SoP.
Step 1 - Utilice el Boolean postulate, x + x = x. Eso significa que la operación O lógica con cualquier variable booleana 'n' veces será igual a la misma variable. Entonces, podemos escribir el último término pqr dos veces más.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - utilizar Distributive lawpara 1 st y 4 th términos, 2 nd y 5 th términos, 3 rd y 6 th términos.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - utilizar Boolean postulate, x + x '= 1 para simplificar los términos presentes en cada paréntesis.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - utilizar Boolean postulate, x.1 = x para simplificar los tres términos anteriores.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Esta es la función booleana simplificada. Por lo tanto, losstandard SoP form correspondiente a la forma de SoP canónica dada es f = pq + qr + pr
Formulario estándar de PoS
Forma estándar de PoS significa Standard Product of Sumsformar. De esta forma, no es necesario que cada término de suma contenga todos los literales. Por lo tanto, los términos de la suma pueden ser o no los términos máximos. Por lo tanto, la forma estándar de PoS es la forma simplificada de la forma canónica de PoS.
Obtendremos la forma de variable de salida estándar de PoS en dos pasos.
- Obtenga la forma canónica de PoS de variable de salida
- Simplifique la función booleana anterior, que está en forma canónica de PoS.
Siga el mismo procedimiento para otras variables de salida también, si hay más de una variable de salida. A veces, puede que no sea posible simplificar la forma canónica de PoS. En ese caso, las formas canónicas y estándar de PoS son iguales.
Example
Convierta la siguiente función booleana en la forma estándar de PoS.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
La función booleana dada está en forma canónica PoS. Ahora, tenemos que simplificar esta función booleana para obtener la forma estándar de PoS.
Step 1 - Utilice el Boolean postulate, xx = x. Eso significa que la operación lógica AND con cualquier variable booleana 'n' veces será igual a la misma variable. Entonces, podemos escribir el primer término p + q + r dos veces más.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - utilizar Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) para 1 st y 4 º paréntesis, 2 nd y 5 º paréntesis, 3 rd y 6 º paréntesis.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - utilizar Boolean postulate, x.x '= 0 para simplificar los términos presentes en cada paréntesis.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - utilizar Boolean postulate, x + 0 = x para simplificar los términos presentes en cada paréntesis
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Esta es la función booleana simplificada. Por lo tanto, losstandard PoS form correspondiente a la forma canónica de PoS dada es f = (p + q).(q + r).(p + r). Este es eldual de la función booleana, f = pq + qr + pr.
Por lo tanto, los formularios Standard SoP y Standard PoS son duales entre sí.