Lógica difusa: teoría de conjuntos
Los conjuntos difusos pueden considerarse una extensión y una simplificación excesiva de los conjuntos clásicos. Puede entenderse mejor en el contexto de la pertenencia a un conjunto. Básicamente, permite la pertenencia parcial, lo que significa que contiene elementos que tienen distintos grados de pertenencia al conjunto. A partir de esto, podemos entender la diferencia entre el conjunto clásico y el conjunto difuso. El conjunto clásico contiene elementos que satisfacen propiedades precisas de pertenencia, mientras que el conjunto difuso contiene elementos que satisfacen propiedades imprecisas de pertenencia.
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Concepto matemático
Un conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ en el universo de información $ U $ se puede definir como un conjunto de pares ordenados y se puede representar matemáticamente como -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$
Aquí $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grado de pertenencia de $ y $ en \ widetilde {A}, asume valores en el rango de 0 a 1, es decir, $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.
Representación de conjunto difuso
Consideremos ahora dos casos de universo de información y entendamos cómo se puede representar un conjunto difuso.
Caso 1
Cuando el universo de información $ U $ es discreto y finito -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$
$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $
Caso 2
Cuando el universo de información $ U $ es continuo e infinito -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$
En la representación anterior, el símbolo de suma representa la colección de cada elemento.
Operaciones en conjuntos difusos
Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, el universo de información $ U $ y un elemento del universo, las siguientes relaciones expresan la operación de unión, intersección y complemento en conjuntos difusos.
Unión / Fuzzy 'OR'
Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Union/Fuzzy ‘OR’ la relación funciona -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Aquí ∨ representa la operación 'máxima'.
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Intersección / Fuzzy 'Y'
Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Intersection/Fuzzy ‘AND’ la relación funciona -
$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$
Aquí ∧ representa la operación 'mínima'.
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Complemento / Fuzzy 'NOT'
Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Complement/Fuzzy ‘NOT’ la relación funciona -
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$
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Propiedades de los conjuntos difusos
Analicemos las diferentes propiedades de los conjuntos difusos.
Propiedad conmutativa
Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, esta propiedad establece:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$
Propiedad asociativa
Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:
$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$
$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$
Propiedad distributiva
Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$
Propiedad de idempotencia
Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$
Propiedad de identidad
Para el conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ y el conjunto universal $ U $, esta propiedad establece:
$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$
$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$
$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$
Propiedad transitiva
Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:
$$ Si \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: entonces \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$
Propiedad de involución
Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:
$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$
Ley de De Morgan
Esta ley juega un papel crucial en la prueba de tautologías y contradicciones. Esta ley establece:
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$
$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$