Lógica difusa: teoría de conjuntos

Los conjuntos difusos pueden considerarse una extensión y una simplificación excesiva de los conjuntos clásicos. Puede entenderse mejor en el contexto de la pertenencia a un conjunto. Básicamente, permite la pertenencia parcial, lo que significa que contiene elementos que tienen distintos grados de pertenencia al conjunto. A partir de esto, podemos entender la diferencia entre el conjunto clásico y el conjunto difuso. El conjunto clásico contiene elementos que satisfacen propiedades precisas de pertenencia, mientras que el conjunto difuso contiene elementos que satisfacen propiedades imprecisas de pertenencia.

Concepto matemático

Un conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ en el universo de información $ U $ se puede definir como un conjunto de pares ordenados y se puede representar matemáticamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Aquí $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grado de pertenencia de $ y $ en \ widetilde {A}, asume valores en el rango de 0 a 1, es decir, $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Representación de conjunto difuso

Consideremos ahora dos casos de universo de información y entendamos cómo se puede representar un conjunto difuso.

Caso 1

Cuando el universo de información $ U $ es discreto y finito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Caso 2

Cuando el universo de información $ U $ es continuo e infinito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

En la representación anterior, el símbolo de suma representa la colección de cada elemento.

Operaciones en conjuntos difusos

Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, el universo de información $ U $ y un elemento del universo, las siguientes relaciones expresan la operación de unión, intersección y complemento en conjuntos difusos.

Unión / Fuzzy 'OR'

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Union/Fuzzy ‘OR’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aquí ∨ representa la operación 'máxima'.

Intersección / Fuzzy 'Y'

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Intersection/Fuzzy ‘AND’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aquí ∧ representa la operación 'mínima'.

Complemento / Fuzzy 'NOT'

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Complement/Fuzzy ‘NOT’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Propiedades de los conjuntos difusos

Analicemos las diferentes propiedades de los conjuntos difusos.

Propiedad conmutativa

Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propiedad asociativa

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propiedad distributiva

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propiedad de idempotencia

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propiedad de identidad

Para el conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ y el conjunto universal $ U $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Propiedad transitiva

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ Si \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: entonces \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propiedad de involución

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Ley de De Morgan

Esta ley juega un papel crucial en la prueba de tautologías y contradicciones. Esta ley establece:

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$