Lógica difusa: teoría clásica de conjuntos

UN setes una colección desordenada de diferentes elementos. Puede escribirse explícitamente enumerando sus elementos utilizando el corchete de conjunto. Si se cambia el orden de los elementos o se repite cualquier elemento de un conjunto, no realiza ningún cambio en el conjunto.

Ejemplo

• Un conjunto de todos los números enteros positivos.
• Un conjunto de todos los planetas del sistema solar.
• Un conjunto de todos los estados de la India.
• Un conjunto de todas las letras minúsculas del alfabeto.

Representación matemática de un conjunto

Los conjuntos se pueden representar de dos formas:

Formulario de lista o tabular

De esta forma, un conjunto se representa enumerando todos los elementos que lo componen. Los elementos están encerrados entre llaves y separados por comas.

A continuación se muestran los ejemplos de conjuntos en forma de lista o tabular:

• Conjunto de vocales en el alfabeto inglés, A = {a, e, i, o, u}
• Conjunto de números impares menores que 10, B = {1,3,5,7,9}

Establecer notación de constructor

De esta forma, el conjunto se define especificando una propiedad que los elementos del conjunto tienen en común. El conjunto se describe como A = {x: p (x)}

Example 1 - El conjunto {a, e, i, o, u} se escribe como

A = {x: x es una vocal en el alfabeto inglés}

Example 2 - El conjunto {1,3,5,7,9} se escribe como

B = {x: 1 ≤ x <10 y (x% 2) ≠ 0}

Si un elemento x es miembro de cualquier conjunto S, se denota por x∈S y si un elemento y no es miembro del conjunto S, se denota por y∉S.

Example - Si S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S pero 1.5 ∉ S

Cardinalidad de un conjunto

La cardinalidad de un conjunto S, denotado por | S || S |, es el número de elementos del conjunto. El número también se conoce como número cardinal. Si un conjunto tiene un número infinito de elementos, su cardinalidad es ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Si hay dos conjuntos X e Y, | X | = | Y | denota dos conjuntos X e Y que tienen la misma cardinalidad. Ocurre cuando el número de elementos en X es exactamente igual al número de elementos en Y. En este caso, existe una función biyectiva 'f' de X a Y.

| X | ≤ | Y | denota que la cardinalidad del conjunto X es menor o igual que la cardinalidad del conjunto Y. Ocurre cuando el número de elementos en X es menor o igual al de Y. Aquí, existe una función inyectiva 'f' de X a Y.

| X | <| Y | denota que la cardinalidad del conjunto X es menor que la cardinalidad del conjunto Y. Ocurre cuando el número de elementos en X es menor que el de Y. Aquí, la función 'f' de X a Y es una función inyectiva pero no biyectiva.

Si | X | ≤ | Y | y | X | ≤ | Y | luego | X | = | Y | . Los conjuntos X e Y se denominan comúnmenteequivalent sets.

Tipos de conjuntos

Los conjuntos se pueden clasificar en muchos tipos; algunos de los cuales son finitos, infinitos, subconjuntos, universales, propios, conjuntos singleton, etc.

Conjunto finito

Un conjunto que contiene un número definido de elementos se denomina conjunto finito.

Example - S = {x | x ∈ N y 70> x> 50}

Conjunto infinito

Un conjunto que contiene un número infinito de elementos se llama conjunto infinito.

Example - S = {x | x ∈ N y x> 10}

Subconjunto

Un conjunto X es un subconjunto del conjunto Y (escrito como X ⊆ Y) si cada elemento de X es un elemento del conjunto Y.

Example 1- Sea, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aquí el conjunto Y es un subconjunto del conjunto X ya que todos los elementos del conjunto Y están en el conjunto X. Por tanto, podemos escribir Y⊆X.

Example 2- Sea, X = {1,2,3} e Y = {1,2,3}. Aquí el conjunto Y es un subconjunto (no un subconjunto propio) del conjunto X ya que todos los elementos del conjunto Y están en el conjunto X. Por tanto, podemos escribir Y⊆X.

Subconjunto propio

El término "subconjunto adecuado" se puede definir como "subconjunto de pero no igual a". Un conjunto X es un subconjunto propio del conjunto Y (escrito como X ⊂ Y) si cada elemento de X es un elemento del conjunto Y y | X | <| Y |.

Example- Sea, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aquí configure Y ⊂ X, ya que todos los elementos de Y también están contenidos en X y X tiene al menos un elemento que es más que el conjunto Y.

Conjunto universal

Es una colección de todos los elementos en un contexto o aplicación particular. Todos los conjuntos en ese contexto o aplicación son esencialmente subconjuntos de este conjunto universal. Los conjuntos universales se representan como U.

Example- Podemos definir U como el conjunto de todos los animales de la tierra. En este caso, un conjunto de todos los mamíferos es un subconjunto de U, un conjunto de todos los peces es un subconjunto de U, un conjunto de todos los insectos es un subconjunto de U, y así sucesivamente.

Conjunto vacío o conjunto nulo

Un conjunto vacío no contiene elementos. Se denota por Φ. Como el número de elementos de un conjunto vacío es finito, el conjunto vacío es un conjunto finito. La cardinalidad del conjunto vacío o del conjunto nulo es cero.

Example - S = {x | x ∈ N y 7 <x <8} = Φ

Conjunto Singleton o Conjunto de unidades

Un conjunto Singleton o Conjunto de unidades contiene solo un elemento. Un conjunto singleton se denota mediante {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Conjunto igual

Si dos conjuntos contienen los mismos elementos, se dice que son iguales.

Example - Si A = {1,2,6} y B = {6,1,2}, son iguales ya que cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.

Conjunto equivalente

Si las cardinalidades de dos conjuntos son iguales, se denominan conjuntos equivalentes.

Example- Si A = {1,2,6} y B = {16,17,22}, son equivalentes ya que la cardinalidad de A es igual a la cardinalidad de B. es decir | A | = | B | = 3

Conjunto superpuesto

Dos conjuntos que tienen al menos un elemento común se denominan conjuntos superpuestos. En caso de conjuntos superpuestos:

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Sea, A = {1,2,6} y B = {6,12,42}. Hay un elemento común '6', por lo que estos conjuntos son conjuntos superpuestos.

Conjunto disjunto

Dos conjuntos A y B se denominan conjuntos disjuntos si no tienen ni siquiera un elemento en común. Por lo tanto, los conjuntos disjuntos tienen las siguientes propiedades:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Sea, A = {1,2,6} y B = {7,9,14}, no hay un solo elemento común, por lo tanto, estos conjuntos son conjuntos superpuestos.

Operaciones en sets clásicos

Las operaciones de conjuntos incluyen Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos, Complemento de conjunto y Producto cartesiano.

Unión

La unión de los conjuntos A y B (denotado por A ∪ BA ∪ B) es el conjunto de elementos que están en A, en B, o tanto en A como en B. Por lo tanto, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Si A = {10,11,12,13} y B = {13,14,15}, entonces A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - El elemento común aparece solo una vez.

Intersección

La intersección de los conjuntos A y B (denotado por A ∩ B) es el conjunto de elementos que están tanto en A como en B. Por lo tanto, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Diferencia / Complemento relativo

La diferencia de conjuntos de los conjuntos A y B (denotado por A – B) es el conjunto de elementos que están solo en A pero no en B. Por lo tanto, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.

Example- Si A = {10,11,12,13} y B = {13,14,15}, entonces (A - B) = {10,11,12} y (B - A) = {14,15} . Aquí, podemos ver (A - B) ≠ (B - A)

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A (denotado por A ′) es el conjunto de elementos que no están en el conjunto A. Por lo tanto, A ′ = {x | x ∉ A}.

Más específicamente, A ′ = (U − A) donde U es un conjunto universal que contiene todos los objetos.

Example - Si A = {x | x pertenece al conjunto de sumar enteros} entonces A ′ = {y | y no pertenece al conjunto de enteros impares}

Producto cartesiano / producto cruzado

El producto cartesiano de n número de conjuntos A1, A2,… An denotado como A1 × A2 ... × An se puede definir como todos los pares ordenados posibles (x1, x2,… xn) donde x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Si tomamos dos conjuntos A = {a, b} y B = {1,2},

El producto cartesiano de A y B se escribe como - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Y, el producto cartesiano de B y A se escribe como - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Propiedades de los conjuntos clásicos

Las propiedades de los conjuntos juegan un papel importante para obtener la solución. A continuación se muestran las diferentes propiedades de los conjuntos clásicos:

Propiedad conmutativa

Tener dos juegos A y B, esta propiedad dice:

$$ A \ taza B = B \ taza A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Propiedad asociativa

Tener tres juegos A, B y C, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Propiedad distributiva

Tener tres juegos A, B y C, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Propiedad de idempotencia

Para cualquier conjunto A, esta propiedad dice:

$$ A \ cup A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Propiedad de identidad

Para el conjunto A y conjunto universal X, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ taza X = X $$

Propiedad transitiva

Tener tres juegos A, B y C, la propiedad dice -

Si $ A \ subseteq B \ subseteq C $, entonces $ A \ subseteq C $

Propiedad de involución

Para cualquier conjunto A, esta propiedad dice:

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

Ley de De Morgan

Es una ley muy importante y sirve para probar tautologías y contradicciones. Esta ley establece:

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$