Lógica difusa: función de pertenencia

Ya sabemos que la lógica difusa no es lógica difusa, sino lógica que se utiliza para describir la difuminación. Esta falta de claridad se caracteriza mejor por su función de pertenencia. En otras palabras, podemos decir que la función de pertenencia representa el grado de verdad en la lógica difusa.

A continuación se presentan algunos puntos importantes relacionados con la función de membresía:

• Las funciones de membresía fueron introducidas por primera vez en 1965 por Lofti A. Zadeh en su primer trabajo de investigación "conjuntos difusos".

• Las funciones de pertenencia caracterizan la falta de claridad (es decir, toda la información en el conjunto borroso), ya sea que los elementos de los conjuntos borrosos sean discretos o continuos.

• Las funciones de pertenencia pueden definirse como una técnica para resolver problemas prácticos mediante la experiencia en lugar del conocimiento.

• Las funciones de pertenencia están representadas por formas gráficas.

• Las reglas para definir la falta de claridad también son vagas.

Notación matemática

Ya hemos estudiado que un conjunto difuso à en el universo de información U se puede definir como un conjunto de pares ordenados y se puede representar matemáticamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Aquí $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = función de membresía de $ \ widetilde {A} $; esto asume valores en el rango de 0 a 1, es decir, $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. La función de membresía $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ asigna $ U $ al espacio de membresía $ M $.

El punto $ \ left (\ bullet \ right) $ en la función de pertenencia descrita anteriormente, representa el elemento en un conjunto difuso; si es discreto o continuo.

Características de las funciones de membresía

Ahora discutiremos las diferentes características de las funciones de membresía.

Núcleo

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el núcleo de una función de pertenencia es esa región del universo que se caracteriza por la pertenencia total al conjunto. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Apoyo

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el soporte de una función de pertenencia es la región del universo que se caracteriza por una pertenencia al conjunto distinta de cero. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Perímetro

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el límite de una función de pertenencia es la región del universo que se caracteriza por una pertenencia al conjunto distinta de cero pero incompleta. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificación

Puede definirse como el proceso de transformar un conjunto nítido en un conjunto difuso o un conjunto difuso en un conjunto más difuso. Básicamente, esta operación traduce valores de entrada precisos y nítidos en variables lingüísticas.

Los siguientes son los dos métodos importantes de fuzzificación:

Admite el método de fuzzificación (s-fuzzification)

En este método, el conjunto fuzzificado se puede expresar con la ayuda de la siguiente relación:

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Aquí, el conjunto difuso $ Q \ left (x_i \ right) $ se llama como núcleo de fuzzificación. Este método se implementa manteniendo $ \ mu _i $ constante y $ x_i $ transformándose en un conjunto difuso $ Q \ left (x_i \ right) $.

Método de fuzzificación de grado (g-fuzzification)

Es bastante similar al método anterior, pero la principal diferencia es que mantuvo $ x_i $ constante y $ \ mu _i $ se expresa como un conjunto difuso.

Defuzzificación

Puede definirse como el proceso de reducir un conjunto difuso en un conjunto nítido o convertir un elemento difuso en un elemento nítido.

Ya hemos estudiado que el proceso de fuzzificación implica la conversión de cantidades nítidas a cantidades difusas. En una serie de aplicaciones de ingeniería, es necesario difuminar el resultado o más bien el "resultado difuso" para que se convierta en un resultado nítido. Matemáticamente, el proceso de Defuzzificación también se llama "redondeo".

Los diferentes métodos de Defuzzification se describen a continuación:

Método de membresía máxima

Este método se limita a las funciones de salida máxima y también se conoce como método de altura. Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: para \: todos \: x \ en X $$

Aquí, $ x ^ * $ es la salida defuzzificada.

Método centroide

Este método también se conoce como método del centro de área o centro de gravedad. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right ) .dx} $$

Método de promedio ponderado

En este método, cada función de membresía se pondera por su valor de membresía máximo. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Membresía de Mean-Max

Este método también se conoce como la mitad de los máximos. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$