Fuzzy Logic - Guía rápida

La palabra fuzzyse refiere a cosas que no están claras o son vagas. Cualquier evento, proceso o función que cambie continuamente no siempre se puede definir como verdadero o falso, lo que significa que debemos definir dichas actividades de manera difusa.

¿Qué es la lógica difusa?

Fuzzy Logic se parece a la metodología de toma de decisiones humana. Se trata de información vaga e imprecisa. Esta es una simplificación excesiva de los problemas del mundo real y se basa en grados de verdad en lugar de verdadero / falso o 1/0 como la lógica booleana.

Eche un vistazo al siguiente diagrama. Muestra que en los sistemas difusos, los valores se indican con un número en el rango de 0 a 1. Aquí 1.0 representaabsolute truth y 0.0 representa absolute falseness. El número que indica el valor en los sistemas difusos se llamatruth value.

En otras palabras, podemos decir que la lógica difusa no es la lógica que es difusa, sino la lógica que se utiliza para describir la falta de claridad. Puede haber muchos otros ejemplos como este con la ayuda de los cuales podemos entender el concepto de lógica difusa.

Fuzzy Logic fue introducido en 1965 por Lofti A. Zadeh en su artículo de investigación “Fuzzy Sets”. Se le considera el padre de Fuzzy Logic.

UN setes una colección desordenada de diferentes elementos. Puede escribirse explícitamente enumerando sus elementos usando el corchete de conjunto. Si se cambia el orden de los elementos o se repite cualquier elemento de un conjunto, no se realiza ningún cambio en el conjunto.

Ejemplo

  • Un conjunto de todos los números enteros positivos.
  • Un conjunto de todos los planetas del sistema solar.
  • Un conjunto de todos los estados de la India.
  • Un conjunto de todas las letras minúsculas del alfabeto.

Representación matemática de un conjunto

Los conjuntos se pueden representar de dos formas:

Formulario de lista o tabular

De esta forma, un conjunto se representa enumerando todos los elementos que lo componen. Los elementos están encerrados entre llaves y separados por comas.

A continuación se muestran los ejemplos de conjuntos en forma de lista o tabular:

  • Conjunto de vocales en el alfabeto inglés, A = {a, e, i, o, u}
  • Conjunto de números impares menores que 10, B = {1,3,5,7,9}

Establecer notación de constructor

De esta forma, el conjunto se define especificando una propiedad que los elementos del conjunto tienen en común. El conjunto se describe como A = {x: p (x)}

Example 1 - El conjunto {a, e, i, o, u} se escribe como

A = {x: x es una vocal en el alfabeto inglés}

Example 2 - El conjunto {1,3,5,7,9} se escribe como

B = {x: 1 ≤ x <10 y (x% 2) ≠ 0}

Si un elemento x es miembro de cualquier conjunto S, se denota por x∈S y si un elemento y no es miembro del conjunto S, se denota por y∉S.

Example - Si S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S pero 1.5 ∉ S

Cardinalidad de un conjunto

La cardinalidad de un conjunto S, denotado por | S || S |, es el número de elementos del conjunto. El número también se conoce como número cardinal. Si un conjunto tiene un número infinito de elementos, su cardinalidad es ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Si hay dos conjuntos X e Y, | X | = | Y | denota dos conjuntos X e Y que tienen la misma cardinalidad. Ocurre cuando el número de elementos en X es exactamente igual al número de elementos en Y. En este caso, existe una función biyectiva 'f' de X a Y.

| X | ≤ | Y | denota que la cardinalidad del conjunto X es menor o igual que la cardinalidad del conjunto Y. Ocurre cuando el número de elementos en X es menor o igual al de Y. Aquí, existe una función inyectiva 'f' de X a Y.

| X | <| Y | denota que la cardinalidad del conjunto X es menor que la cardinalidad del conjunto Y. Ocurre cuando el número de elementos en X es menor que el de Y. Aquí, la función 'f' de X a Y es una función inyectiva pero no biyectiva.

Si | X | ≤ | Y | y | X | ≤ | Y | luego | X | = | Y | . Los conjuntos X e Y se denominan comúnmenteequivalent sets.

Tipos de conjuntos

Los conjuntos se pueden clasificar en muchos tipos; algunos de los cuales son finitos, infinitos, subconjuntos, universales, propios, conjuntos singleton, etc.

Conjunto finito

Un conjunto que contiene un número definido de elementos se denomina conjunto finito.

Example - S = {x | x ∈ N y 70> x> 50}

Conjunto infinito

Un conjunto que contiene un número infinito de elementos se llama conjunto infinito.

Example - S = {x | x ∈ N y x> 10}

Subconjunto

Un conjunto X es un subconjunto del conjunto Y (escrito como X ⊆ Y) si cada elemento de X es un elemento del conjunto Y.

Example 1- Sea, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aquí el conjunto Y es un subconjunto del conjunto X, ya que todos los elementos del conjunto Y están en el conjunto X. Por tanto, podemos escribir Y⊆X.

Example 2- Sea, X = {1,2,3} e Y = {1,2,3}. Aquí el conjunto Y es un subconjunto (no un subconjunto propio) del conjunto X ya que todos los elementos del conjunto Y están en el conjunto X. Por tanto, podemos escribir Y⊆X.

Subconjunto propio

El término "subconjunto adecuado" se puede definir como "subconjunto de pero no igual a". Un conjunto X es un subconjunto propio del conjunto Y (escrito como X ⊂ Y) si cada elemento de X es un elemento del conjunto Y y | X | <| Y |.

Example- Sea, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aquí, configure Y ⊂ X, ya que todos los elementos de Y también están contenidos en X y X tiene al menos un elemento que es más que el conjunto Y.

Conjunto universal

Es una colección de todos los elementos en un contexto o aplicación particular. Todos los conjuntos en ese contexto o aplicación son esencialmente subconjuntos de este conjunto universal. Los conjuntos universales se representan como U.

Example- Podemos definir U como el conjunto de todos los animales de la tierra. En este caso, un conjunto de todos los mamíferos es un subconjunto de U, un conjunto de todos los peces es un subconjunto de U, un conjunto de todos los insectos es un subconjunto de U, y así sucesivamente.

Conjunto vacío o conjunto nulo

Un conjunto vacío no contiene elementos. Se denota por Φ. Como el número de elementos de un conjunto vacío es finito, el conjunto vacío es un conjunto finito. La cardinalidad del conjunto vacío o del conjunto nulo es cero.

Example - S = {x | x ∈ N y 7 <x <8} = Φ

Conjunto Singleton o Conjunto de unidades

Un conjunto Singleton o Conjunto de unidades contiene solo un elemento. Un conjunto singleton se denota mediante {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Conjunto igual

Si dos conjuntos contienen los mismos elementos, se dice que son iguales.

Example - Si A = {1,2,6} y B = {6,1,2}, son iguales ya que cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.

Conjunto equivalente

Si las cardinalidades de dos conjuntos son iguales, se denominan conjuntos equivalentes.

Example- Si A = {1,2,6} y B = {16,17,22}, son equivalentes ya que la cardinalidad de A es igual a la cardinalidad de B. es decir | A | = | B | = 3

Conjunto superpuesto

Dos conjuntos que tienen al menos un elemento común se denominan conjuntos superpuestos. En caso de conjuntos superpuestos:

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Sea, A = {1,2,6} y B = {6,12,42}. Hay un elemento común '6', por lo que estos conjuntos son conjuntos superpuestos.

Conjunto disjunto

Dos conjuntos A y B se denominan conjuntos disjuntos si no tienen ni siquiera un elemento en común. Por lo tanto, los conjuntos disjuntos tienen las siguientes propiedades:

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Sea, A = {1,2,6} y B = {7,9,14}, no hay un solo elemento común, por lo tanto, estos conjuntos son conjuntos superpuestos.

Operaciones en sets clásicos

Las operaciones de conjuntos incluyen Unión de conjuntos, Intersección de conjuntos, Diferencia de conjuntos, Complemento de conjunto y Producto cartesiano.

Unión

La unión de los conjuntos A y B (denotado por A ∪ BA ∪ B) es el conjunto de elementos que están en A, en B, o tanto en A como en B. Por lo tanto, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Example - Si A = {10,11,12,13} y B = {13,14,15}, entonces A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - El elemento común aparece solo una vez.

Intersección

La intersección de los conjuntos A y B (denotado por A ∩ B) es el conjunto de elementos que están tanto en A como en B. Por lo tanto, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.

Diferencia / Complemento relativo

La diferencia de conjuntos de los conjuntos A y B (denotado por A – B) es el conjunto de elementos que están solo en A pero no en B. Por lo tanto, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.

Example- Si A = {10,11,12,13} y B = {13,14,15}, entonces (A - B) = {10,11,12} y (B - A) = {14,15} . Aquí, podemos ver (A - B) ≠ (B - A)

Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A (denotado por A ′) es el conjunto de elementos que no están en el conjunto A. Por tanto, A ′ = {x | x ∉ A}.

Más específicamente, A ′ = (U − A) donde U es un conjunto universal que contiene todos los objetos.

Example - Si A = {x | x pertenece al conjunto de sumar enteros} entonces A ′ = {y | y no pertenece al conjunto de enteros impares}

Producto cartesiano / producto cruzado

El producto cartesiano de n número de conjuntos A1, A2,… An denotado como A1 × A2 ... × An se puede definir como todos los pares ordenados posibles (x1, x2,… xn) donde x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Si tomamos dos conjuntos A = {a, b} y B = {1,2},

El producto cartesiano de A y B se escribe como - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Y, el producto cartesiano de B y A se escribe como - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Propiedades de los conjuntos clásicos

Las propiedades de los conjuntos juegan un papel importante para obtener la solución. A continuación se muestran las diferentes propiedades de los conjuntos clásicos:

Propiedad conmutativa

Tener dos juegos A y B, esta propiedad dice:

$$ A \ taza B = B \ taza A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Propiedad asociativa

Tener tres juegos A, B y C, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Propiedad distributiva

Tener tres juegos A, B y C, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Propiedad de idempotencia

Para cualquier conjunto A, esta propiedad dice:

$$ A \ cup A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Propiedad de identidad

Para el conjunto A y conjunto universal X, esta propiedad dice:

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ taza X = X $$

Propiedad transitiva

Tener tres juegos A, B y C, la propiedad dice -

Si $ A \ subseteq B \ subseteq C $, entonces $ A \ subseteq C $

Propiedad de involución

Para cualquier conjunto A, esta propiedad dice:

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

Ley de De Morgan

Es una ley muy importante y sirve para probar tautologías y contradicciones. Esta ley establece:

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$

Los conjuntos difusos pueden considerarse una extensión y una simplificación excesiva de los conjuntos clásicos. Puede entenderse mejor en el contexto de la pertenencia a un conjunto. Básicamente, permite la pertenencia parcial, lo que significa que contiene elementos que tienen diversos grados de pertenencia al conjunto. A partir de esto, podemos entender la diferencia entre el conjunto clásico y el conjunto difuso. El conjunto clásico contiene elementos que satisfacen propiedades precisas de pertenencia, mientras que el conjunto difuso contiene elementos que satisfacen propiedades imprecisas de pertenencia.

Concepto matemático

Un conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ en el universo de información $ U $ se puede definir como un conjunto de pares ordenados y se puede representar matemáticamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Aquí $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grado de pertenencia de $ y $ en \ widetilde {A}, asume valores en el rango de 0 a 1, es decir, $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Representación de conjunto difuso

Consideremos ahora dos casos de universo de información y entendamos cómo se puede representar un conjunto difuso.

Caso 1

Cuando el universo de información $ U $ es discreto y finito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Caso 2

Cuando el universo de información $ U $ es continuo e infinito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

En la representación anterior, el símbolo de suma representa la colección de cada elemento.

Operaciones en conjuntos difusos

Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, el universo de información $ U $ y un elemento ð ?? '¦ del universo, las siguientes relaciones expresan la operación de unión, intersección y complemento en conjuntos difusos.

Unión / Fuzzy 'O'

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Union/Fuzzy ‘OR’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aquí ∨ representa la operación 'máx.'.

Intersección / 'Y' difuso

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Intersection/Fuzzy ‘AND’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aquí ∧ representa la operación 'min'.

Complemento / difuso 'NO'

Consideremos la siguiente representación para comprender cómo Complement/Fuzzy ‘NOT’ la relación funciona -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Propiedades de los conjuntos difusos

Analicemos las diferentes propiedades de los conjuntos difusos.

Propiedad conmutativa

Teniendo dos conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ y $ \ widetilde {B} $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propiedad asociativa

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propiedad distributiva

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propiedad de idempotencia

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propiedad de identidad

Para el conjunto difuso $ \ widetilde {A} $ y el conjunto universal $ U $, esta propiedad establece:

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Propiedad transitiva

Teniendo tres conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ y $ \ widetilde {C} $, esta propiedad establece:

$$ Si \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: entonces \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propiedad de involución

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, esta propiedad indica:

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Ley de De Morgan

Esta ley juega un papel crucial en la prueba de tautologías y contradicciones. Esta ley establece:

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$

Ya sabemos que la lógica difusa no es lógica difusa, sino lógica que se utiliza para describir la falta de claridad. Esta falta de claridad se caracteriza mejor por su función de pertenencia. En otras palabras, podemos decir que la función de pertenencia representa el grado de verdad en la lógica difusa.

A continuación se presentan algunos puntos importantes relacionados con la función de membresía:

  • Las funciones de membresía fueron introducidas por primera vez en 1965 por Lofti A. Zadeh en su primer trabajo de investigación "conjuntos difusos".

  • Las funciones de pertenencia caracterizan la falta de claridad (es decir, toda la información en el conjunto borroso), ya sea que los elementos de los conjuntos borrosos sean discretos o continuos.

  • Las funciones de pertenencia pueden definirse como una técnica para resolver problemas prácticos mediante la experiencia en lugar del conocimiento.

  • Las funciones de pertenencia están representadas por formas gráficas.

  • Las reglas para definir la falta de claridad también son vagas.

Notación matemática

Ya hemos estudiado que un conjunto difuso à en el universo de información U se puede definir como un conjunto de pares ordenados y se puede representar matemáticamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Aquí $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = función de membresía de $ \ widetilde {A} $; esto asume valores en el rango de 0 a 1, es decir, $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. La función de membresía $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ asigna $ U $ al espacio de membresía $ M $.

El punto $ \ left (\ bullet \ right) $ en la función de pertenencia descrita anteriormente, representa el elemento en un conjunto difuso; si es discreto o continuo.

Características de las funciones de membresía

Ahora discutiremos las diferentes características de las funciones de membresía.

Núcleo

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el núcleo de una función de pertenencia es esa región del universo que se caracteriza por la pertenencia total al conjunto. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Apoyo

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el soporte de una función de pertenencia es la región del universo que se caracteriza por una pertenencia al conjunto distinta de cero. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Perímetro

Para cualquier conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, el límite de una función de pertenencia es la región del universo que se caracteriza por una pertenencia al conjunto distinta de cero pero incompleta. Por lo tanto, el núcleo consiste en todos aquellos elementos $ y $ del universo de información tales que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificación

Puede definirse como el proceso de transformar un conjunto nítido en un conjunto difuso o un conjunto difuso en un conjunto más difuso. Básicamente, esta operación traduce valores de entrada precisos y nítidos en variables lingüísticas.

Los siguientes son los dos métodos importantes de fuzzificación:

Admite el método de fuzzificación (s-fuzzification)

En este método, el conjunto fuzzificado se puede expresar con la ayuda de la siguiente relación:

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Aquí, el conjunto difuso $ Q \ left (x_i \ right) $ se llama como núcleo de fuzzificación. Este método se implementa manteniendo $ \ mu _i $ constante y $ x_i $ transformándose en un conjunto difuso $ Q \ left (x_i \ right) $.

Método de fuzzificación de grado (g-fuzzification)

Es bastante similar al método anterior, pero la principal diferencia es que mantuvo $ x_i $ constante y $ \ mu _i $ se expresa como un conjunto difuso.

Defuzzificación

Puede definirse como el proceso de reducir un conjunto difuso en un conjunto nítido o convertir un elemento difuso en un elemento nítido.

Ya hemos estudiado que el proceso de fuzzificación implica la conversión de cantidades nítidas a cantidades difusas. En una serie de aplicaciones de ingeniería, es necesario difuminar el resultado o más bien el "resultado difuso" para que se convierta en un resultado nítido. Matemáticamente, el proceso de Defuzzificación también se denomina "redondeo".

Los diferentes métodos de Defuzzification se describen a continuación:

Método de membresía máxima

Este método se limita a las funciones de salida máxima y también se conoce como método de altura. Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera:

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: para \: todos \: x \ en X $$

Aquí, $ x ^ * $ es la salida defuzzificada.

Método centroide

Este método también se conoce como método del centro de área o centro de gravedad. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right ) .dx} $$

Método de promedio ponderado

En este método, cada función de membresía se pondera por su valor de membresía máximo. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Membresía de Mean-Max

Este método también se conoce como la mitad de los máximos. Matemáticamente, la salida defuzzificada $ x ^ * $ se representará como -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$

La lógica, que originalmente era solo el estudio de lo que distingue un argumento sólido de un argumento erróneo, ahora se ha convertido en un sistema poderoso y riguroso mediante el cual se pueden descubrir declaraciones verdaderas, dadas otras declaraciones que ya se sabe que son verdaderas.

Lógica de predicados

Esta lógica trata con predicados, que son proposiciones que contienen variables.

Un predicado es una expresión de una o más variables definidas en algún dominio específico. Un predicado con variables puede convertirse en una proposición asignando un valor a la variable o cuantificándola.

A continuación se muestran algunos ejemplos de predicados:

  • Deje E (x, y) denotar "x = y"
  • Sea X (a, b, c) "a + b + c = 0"
  • Sea M (x, y) "x está casada con y"

Lógica proposicional

Una proposición es una colección de enunciados declarativos que tienen un valor de verdad "verdadero" o un valor de verdad "falso". Una proposicional consta de variables proposicionales y conectivos. Las variables proposicionales están abolladas por letras mayúsculas (A, B, etc.). Los conectivos conectan las variables proposicionales.

A continuación se dan algunos ejemplos de propuestas:

  • "El hombre es mortal", devuelve el valor de verdad "VERDADERO"
  • "12 + 9 = 3 - 2", devuelve el valor verdadero "FALSE"

Lo siguiente no es una propuesta:

  • "A is less than 2" - Es porque a menos que demos un valor específico de A, no podemos decir si el enunciado es verdadero o falso.

Conectivos

En lógica proposicional, usamos las siguientes cinco conectivas:

  • O (∨∨)
  • Y (∧∧)
  • Negación / NO (¬¬)
  • Implicación / si-entonces (→ᐅ)
  • Si y solo si (⇔⇔)

O (∨∨)

La operación OR de dos proposiciones A y B (escrita como A∨BA∨B) es verdadera si al menos alguna de las variables proposicionales A o B es verdadera.

La tabla de verdad es la siguiente:

UN segundo A ∨ B
Cierto Cierto Cierto
Cierto Falso Cierto
Falso Cierto Cierto
Falso Falso Falso

Y (∧∧)

La operación AND de dos proposiciones A y B (escrita como A∧BA∧B) es verdadera si tanto la variable proposicional A como B son verdaderas.

La tabla de verdad es la siguiente:

UN segundo A ∧ B
Cierto Cierto Cierto
Cierto Falso Falso
Falso Cierto Falso
Falso Falso Falso

Negación (¬¬)

La negación de una proposición A (escrita como ¬A¬A) es falsa cuando A es verdadera y es verdadera cuando A es falsa.

La tabla de verdad es la siguiente:

UN ¬A
Cierto Falso
Falso Cierto

Implicación / si-entonces (→ᐅ)

Una implicación A → BA → B es la proposición “si A, entonces B”. Es falso si A es verdadero y B es falso. Los demás casos son ciertos.

La tabla de verdad es la siguiente:

UN segundo A → B
Cierto Cierto Cierto
Cierto Falso Falso
Falso Cierto Cierto
Falso Falso Cierto

Si y solo si (⇔⇔)

A⇔BA⇔B es un conectivo lógico bi-condicional que es verdadero cuando pyq son iguales, es decir, ambos son falsos o ambos son verdaderos.

La tabla de verdad es la siguiente:

UN segundo A⇔B
Cierto Cierto Cierto
Cierto Falso Falso
Falso Cierto Falso
Falso Falso Cierto

Fórmula bien formada

La fórmula bien formada (wff) es un predicado que contiene uno de los siguientes:

  • Todas las constantes proposicionales y variables proposicionales son wffs.
  • Si x es una variable e Y es una wff, ∀xY y ∃xY también son wff.
  • El valor de verdad y los valores falsos son falsos.
  • Cada fórmula atómica es un wff.
  • Todos los conectivos que conectan wffs son wffs.

Cuantificadores

La variable de predicados se cuantifica mediante cuantificadores. Hay dos tipos de cuantificadores en la lógica de predicados:

  • Cuantificador universal
  • Cuantificador existencial

Cuantificador universal

El cuantificador universal establece que las declaraciones dentro de su alcance son verdaderas para cada valor de la variable específica. Se denota con el símbolo ∀.

∀xP(x) se lee como para cada valor de x, P (x) es verdadero.

Example- "El hombre es mortal" se puede transformar en la forma proposicional ∀xP (x). Aquí, P (x) es el predicado que denota que x es mortal y el universo del discurso son todos los hombres.

Cuantificador existencial

El cuantificador existencial establece que las afirmaciones dentro de su alcance son verdaderas para algunos valores de la variable específica. Se denota con el símbolo ∃.

∃xP(x) para algunos valores de x se lee como, P (x) es verdadero.

Example - "Algunas personas son deshonestas" se puede transformar en la forma proposicional ∃x P (x) donde P (x) es el predicado que denota que x es deshonesto y el universo del discurso son algunas personas.

Cuantificadores anidados

Si usamos un cuantificador que aparece dentro del alcance de otro cuantificador, se llama cuantificador anidado.

Example

  • ∀ a∃bP (x, y) donde P (a, b) denota a + b = 0
  • ∀ a∀b∀cP (a, b, c) donde P (a, b) denota a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)

Los siguientes son los diferentes modos de razonamiento aproximado:

Razonamiento categórico

En este modo de razonamiento aproximado, se supone que los antecedentes, que no contienen cuantificadores difusos y probabilidades difusas, están en forma canónica.

Razonamiento cualitativo

En este modo de razonamiento aproximado, los antecedentes y consecuentes tienen variables lingüísticas difusas; la relación entrada-salida de un sistema se expresa como una colección de reglas difusas SI-ENTONCES. Este razonamiento se utiliza principalmente en el análisis de sistemas de control.

Razonamiento silogístico

En este modo de razonamiento de aproximación, los antecedentes con cuantificadores difusos están relacionados con las reglas de inferencia. Esto se expresa como -

x = S 1 A's son B's

y = S 2 C's son D's

------------------------

z = S 3 E's son F's

Aquí A, B, C, D, E, F son predicados difusos.

  • A S 1 y S 2 se les dan cuantificadores difusos.

  • S 3 es el cuantificador difuso que debe decidirse.

Razonamiento disposicional

En este modo de razonamiento de aproximación, los antecedentes son disposiciones que pueden contener el cuantificador difuso "habitualmente". El cuantificadorUsuallyenlaza el razonamiento disposicional y silogístico; de ahí que tenga un papel importante.

Por ejemplo, la regla de proyección de inferencia en el razonamiento disposicional se puede dar de la siguiente manera:

generalmente ((L, M) es R) ⇒ generalmente (L es [R ↓ L])

aquí [R ↓ L] es la proyección de la relación difusa R en L

Base de reglas de lógica difusa

Es un hecho conocido que un ser humano siempre se siente cómodo conversando en lenguaje natural. La representación del conocimiento humano se puede hacer con la ayuda de seguir la expresión del lenguaje natural:

IF antecedente THEN consiguiente

La expresión como se indicó anteriormente se conoce como la base de reglas difusa IF-THEN.

Forma canónica

A continuación se muestra la forma canónica de la base de reglas de lógica difusa:

Rule 1 - Si la condición C1, entonces la restricción R1

Rule 2 - Si la condición C1, entonces la restricción R2

.

.

.

Rule n - Si la condición C1, entonces la restricción Rn

Interpretaciones de las reglas difusas IF-THEN

Las reglas difusas IF-THEN se pueden interpretar de las siguientes cuatro formas:

Declaraciones de asignación

Este tipo de declaraciones usan "=" (igual al signo) para el propósito de la asignación. Son de la siguiente forma:

a = hola

clima = verano

Declaraciones condicionales

Este tipo de declaraciones utilizan la forma de base de reglas "SI-ENTONCES" para el propósito de condición. Son de la siguiente forma:

SI la temperatura es alta ENTONCES el clima es cálido

SI la comida es fresca ENTONCES cómela.

Declaraciones incondicionales

Son de la siguiente forma:

GOTO 10

apaga el ventilador

Variable lingüística

Hemos estudiado que la lógica difusa utiliza variables lingüísticas que son las palabras u oraciones en un lenguaje natural. Por ejemplo, si decimos temperatura, es una variable lingüística; cuyos valores son muy calientes o fríos, ligeramente calientes o fríos, muy cálidos, ligeramente cálidos, etc. Las palabras muy, ligeramente son los setos lingüísticos.

Caracterización de la variable lingüística

Los siguientes cuatro términos caracterizan la variable lingüística:

  • Nombre de la variable, generalmente representada por x.
  • Conjunto de términos de la variable, generalmente representado por t (x).
  • Reglas sintácticas para generar los valores de la variable x.
  • Reglas semánticas para vincular cada valor de x y su significado.

Proposiciones en lógica difusa

Como sabemos, las proposiciones son oraciones expresadas en cualquier idioma que generalmente se expresan en la siguiente forma canónica:

s como P

Aquí, s es el sujeto y P es el predicado.

Por ejemplo, " Delhi es la capital de la India ", esta es una proposición donde " Delhi " es el sujeto y " es la capital de la India " es el predicado que muestra la propiedad del sujeto.

Sabemos que la lógica es la base del razonamiento y la lógica difusa extiende la capacidad de razonamiento mediante el uso de predicados difusos, modificadores de predicados difusos, cuantificadores difusos y calificadores difusos en proposiciones difusas que crean la diferencia con la lógica clásica.

Las proposiciones en lógica difusa incluyen lo siguiente:

Predicado difuso

Casi todos los predicados en el lenguaje natural son de naturaleza difusa, por lo tanto, la lógica difusa tiene predicados como alto, bajo, cálido, caliente, rápido, etc.

Modificadores de predicado difuso

Hablamos de las coberturas lingüísticas arriba; también tenemos muchos modificadores de predicados difusos que actúan como coberturas. Son muy esenciales para producir los valores de una variable lingüística. Por ejemplo, las palabras muy, levemente son modificadores y las proposiciones pueden ser como "el agua está ligeramente caliente ".

Cuantificadores difusos

Puede definirse como un número difuso que proporciona una clasificación vaga de la cardinalidad de uno o más conjuntos difusos o no difusos. Se puede utilizar para influir en la probabilidad dentro de la lógica difusa. Por ejemplo, las palabras muchas, con mayor frecuencia, se utilizan como cuantificadores difusos y las proposiciones pueden ser como "la mayoría de las personas son alérgicas ".

Calificadores difusos

Entendamos ahora los calificadores difusos. Un calificador difuso es también una propuesta de lógica difusa. La calificación difusa tiene las siguientes formas:

Calificación difusa basada en la verdad

Reclama el grado de verdad de una proposición difusa.

Expression- Se expresa como x es t . Aquí, t es un valor de verdad difuso.

Example - (El coche es negro) NO es MUY cierto.

Calificación difusa basada en probabilidad

Reclama la probabilidad, ya sea numérica o de intervalo, de una proposición difusa.

Expression- Se expresa como x es λ . Aquí, λ es una probabilidad difusa.

Example - (El coche es negro) es probable.

Calificación difusa basada en la posibilidad

Afirma la posibilidad de una proposición difusa.

Expression- Se expresa como x es π . Aquí, π es una posibilidad difusa.

Example - (El coche es negro) es casi imposible.

El sistema de inferencia difusa es la unidad clave de un sistema de lógica difusa que tiene la toma de decisiones como su trabajo principal. Utiliza las reglas "SI ... ENTONCES" junto con los conectores "O" o "Y" para dibujar reglas de decisión esenciales.

Características del sistema de inferencia difusa

A continuación se presentan algunas características de FIS:

  • La salida de FIS es siempre un conjunto difuso independientemente de su entrada, que puede ser difusa o nítida.

  • Es necesario tener una salida difusa cuando se usa como controlador.

  • Una unidad de defuzzificación estaría allí con FIS para convertir variables difusas en variables nítidas.

Bloques funcionales de FIS

Los siguientes cinco bloques funcionales lo ayudarán a comprender la construcción de FIS:

  • Rule Base - Contiene reglas difusas IF-THEN.

  • Database - Define las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos utilizados en las reglas difusas.

  • Decision-making Unit - Realiza operación sobre reglas.

  • Fuzzification Interface Unit - Convierte las cantidades crujientes en cantidades borrosas.

  • Defuzzification Interface Unit- Convierte las cantidades borrosas en cantidades crujientes. A continuación se muestra un diagrama de bloques del sistema de interferencia difusa.

Funcionamiento de FIS

El funcionamiento de la FIS consta de los siguientes pasos:

  • Una unidad de fuzzificación admite la aplicación de numerosos métodos de fuzzificación y convierte la entrada nítida en entrada difusa.

  • Se forma una base de conocimientos: una colección de bases de datos y bases de datos tras la conversión de una entrada nítida en una entrada difusa.

  • La entrada difusa de la unidad de defuzzificación finalmente se convierte en una salida nítida.

Métodos de FIS

Analicemos ahora los diferentes métodos de FIS. A continuación se presentan los dos métodos importantes de FIS, que tienen diferentes consecuentes de reglas difusas:

  • Sistema de inferencia difuso Mamdani
  • Modelo difuso de Takagi-Sugeno (método TS)

Sistema de inferencia difuso Mamdani

Este sistema fue propuesto en 1975 por Ebhasim Mamdani. Básicamente, se anticipó controlar una combinación de máquina de vapor y caldera sintetizando un conjunto de reglas difusas obtenidas de las personas que trabajan en el sistema.

Pasos para calcular la salida

Se deben seguir los siguientes pasos para calcular la salida de este FIS:

  • Step 1 - En este paso es necesario determinar un conjunto de reglas difusas.

  • Step 2 - En este paso, al usar la función de pertenencia de entrada, la entrada se haría borrosa.

  • Step 3 - Ahora establezca la fuerza de la regla combinando las entradas difusas de acuerdo con las reglas difusas.

  • Step 4 - En este paso, determine el consecuente de la regla combinando la fuerza de la regla y la función de pertenencia de salida.

  • Step 5 - Para obtener la distribución de salida, combine todos los consiguientes.

  • Step 6 - Finalmente, se obtiene una distribución de salida defuzzificada.

A continuación se muestra un diagrama de bloques del sistema de interfaz difusa Mamdani.

Modelo difuso de Takagi-Sugeno (método TS)

Este modelo fue propuesto por Takagi, Sugeno y Kang en 1985. El formato de esta regla se da como:

SI x es A y y es B ENTONCES Z = f (x, y)

Aquí, AB son conjuntos difusos en antecedentes y z = f (x, y) es una función nítida en el consecuente.

Proceso de inferencia difusa

El proceso de inferencia difusa bajo el modelo difuso de Takagi-Sugeno (método TS) funciona de la siguiente manera:

  • Step 1: Fuzzifying the inputs - Aquí, las entradas del sistema se hacen borrosas.

  • Step 2: Applying the fuzzy operator - En este paso, se deben aplicar los operadores difusos para obtener la salida.

Formato de regla del formulario Sugeno

El formato de la regla de la forma Sugeno viene dado por:

si 7 = x y 9 = y entonces la salida es z = ax + by + c

Comparación entre los dos métodos

Entendamos ahora la comparación entre el Sistema Mamdani y el Modelo Sugeno.

  • Output Membership Function- La principal diferencia entre ellos se basa en la función de pertenencia a la salida. Las funciones de pertenencia a la salida de Sugeno son lineales o constantes.

  • Aggregation and Defuzzification Procedure - La diferencia entre ellas también radica en la consecuencia de reglas difusas y por las mismas también difiere su procedimiento de agregación y defuzzificación.

  • Mathematical Rules - Existen más reglas matemáticas para la regla de Sugeno que la regla de Mamdani.

  • Adjustable Parameters - El controlador Sugeno tiene más parámetros ajustables que el controlador Mamdani.

Hemos estudiado en nuestros capítulos anteriores que la lógica difusa es un enfoque de la computación basado en "grados de verdad" en lugar de la lógica habitual de "verdadero o falso". Se trata de un razonamiento aproximado en lugar de preciso para resolver problemas de una manera que se asemeje más a la lógica humana, por lo que el proceso de consulta de la base de datos mediante la realización de dos valores del álgebra booleana no es adecuado.

Escenario difuso de relaciones en bases de datos

El escenario difuso de relaciones en bases de datos se puede entender con la ayuda del siguiente ejemplo:

Ejemplo

Supongamos que tenemos una base de datos con los registros de personas que visitaron la India. En base de datos simple, tendremos las entradas realizadas de la siguiente manera -

Nombre Años Ciudadano País visitado Días gastados Año de visita
John Smith 35 NOS India 41 1999
John Smith 35 NOS Italia 72 1999
John Smith 35 NOS Japón 31 1999

Ahora, si alguien pregunta sobre la persona que visitó la India y Japón en el año 99 y es ciudadano de los EE. UU., La salida mostrará dos entradas con el nombre de John Smith. Esta es una consulta simple que genera una salida simple.

Pero, ¿qué pasa si queremos saber si la persona en la consulta anterior es joven o no? Según el resultado anterior, la edad de la persona es de 35 años. Pero, ¿podemos asumir que la persona es joven o no? Del mismo modo, se puede aplicar lo mismo en los otros campos como días pasados, año de visita, etc.

La solución de los problemas anteriores se puede encontrar con la ayuda de los conjuntos de valores difusos de la siguiente manera:

  • FV (Edad) {muy joven, joven, algo mayor, mayor}

  • FV (días invertidos) {apenas unos días, unos pocos días, bastantes días, muchos días}

  • FV (año de visita) {pasado distante, pasado reciente, reciente}

  • Ahora bien, si alguna consulta tendrá el valor difuso, el resultado también será de naturaleza difusa.

Sistema de consultas difusas

Un sistema de consulta difusa es una interfaz para que los usuarios obtengan información de la base de datos utilizando oraciones en lenguaje (cuasi) natural. Se han propuesto muchas implementaciones de consultas difusas, lo que resulta en lenguajes ligeramente diferentes. Aunque existen algunas variaciones según las particularidades de las diferentes implementaciones, la respuesta a una oración de consulta difusa es generalmente una lista de registros, clasificados según el grado de coincidencia.

Al modelar declaraciones en lenguaje natural, las declaraciones cuantificadas juegan un papel importante. Significa que NL depende en gran medida de cuantificar la construcción, que a menudo incluye conceptos difusos como "casi todos", "muchos", etc. A continuación se muestran algunos ejemplos de proposiciones de cuantificación:

  • Todos los estudiantes aprobaron el examen.
  • Todo coche deportivo es caro.
  • Muchos estudiantes aprobaron el examen.
  • Muchos autos deportivos son caros.

En los ejemplos anteriores, los cuantificadores "Todos" y "Muchos" se aplican a las restricciones nítidas "estudiantes", así como al alcance nítido "(persona que) aprobó el examen" y "autos", así como a los "deportes de alcance nítido".

Eventos difusos, medias difusas y variaciones difusas

Con la ayuda de un ejemplo, podemos comprender los conceptos anteriores. Supongamos que somos accionistas de una empresa llamada ABC. Y en la actualidad la empresa vende cada una de sus acciones por 40 ₹. Hay tres compañías diferentes cuyo negocio es similar al de ABC, pero estas ofrecen sus acciones a diferentes tarifas: ₹ 100 por acción, ₹ 85 por acción y ₹ 60 por acción, respectivamente.

Ahora, la distribución de probabilidad de esta adquisición de precios es la siguiente:

Precio $ 100 85 ₹ 60 ₹
Probabilidad 0,3 0,5 0,2

Ahora, a partir de la teoría de probabilidad estándar, la distribución anterior da una media del precio esperado como se muestra a continuación:

$ 100 × 0.3 + 85 × 0.5 + 60 × 0.2 = 84.5 $

Y, a partir de la teoría de probabilidad estándar, la distribución anterior da una variación del precio esperado como se muestra a continuación:

$ (100 - 84,5) 2 × 0,3 + (85 - 84,5) 2 × 0,5 + (60 - 84,5) 2 × 0,2 = 124,825 $

Suponga que el grado de pertenencia de 100 en este conjunto es 0,7, el de 85 es 1 y el grado de pertenencia es 0,5 para el valor 60. Estos pueden reflejarse en el siguiente conjunto difuso:

$$ \ left \ {\ frac {0.7} {100}, \: \ frac {1} {85}, \: \ frac {0.5} {60}, \ right \} $$

El conjunto difuso obtenido de esta manera se denomina evento difuso.

Queremos la probabilidad del evento difuso para el que nuestro cálculo da:

$ 0.7 × 0.3 + 1 × 0.5 + 0.5 × 0.2 = 0.21 + 0.5 + 0.1 = 0.81 $

Ahora, necesitamos calcular la media difusa y la varianza difusa, el cálculo es el siguiente:

Fuzzy_mean $ = \ left (\ frac {1} {0.81} \ right) × (100 × 0.7 × 0.3 + 85 × 1 × 0.5 + 60 × 0.5 × 0.2) $

$ = 85,8 $

Fuzzy_Variance $ = 7496,91 - 7361,91 = 135,27 $

Es una actividad que incluye los pasos a seguir para elegir una alternativa adecuada entre las necesarias para la realización de un determinado objetivo.

Pasos para la toma de decisiones

Analicemos ahora los pasos involucrados en el proceso de toma de decisiones:

  • Determining the Set of Alternatives - En este paso se deben determinar las alternativas a partir de las cuales se debe tomar la decisión.

  • Evaluating Alternative - Aquí se deben evaluar las alternativas para que se pueda tomar la decisión sobre una de las alternativas.

  • Comparison between Alternatives - En este paso se realiza una comparación entre las alternativas evaluadas.

Tipos de decisión

Tomando Ahora entenderemos los diferentes tipos de toma de decisiones.

Toma de decisiones individual

En este tipo de toma de decisiones, solo una persona es responsable de tomar decisiones. El modelo de toma de decisiones de este tipo se puede caracterizar como:

  • Conjunto de posibles acciones

  • Conjunto de metas $ G_i \ left (i \: \ in \: X_n \ right); $

  • Conjunto de restricciones $ C_j \ left (j \: \ in \: X_m \ right) $

Los objetivos y limitaciones indicados anteriormente se expresan en términos de conjuntos difusos.

Ahora considere un conjunto A. Entonces, el objetivo y las restricciones para este conjunto están dados por -

$ G_i \ left (a \ right) $ = composición $ \ left [G_i \ left (a \ right) \ right] $ = $ G_i ^ 1 \ left (G_i \ left (a \ right) \ right) $ con $ G_i ^ 1 $

$ C_j \ left (a \ right) $ = composición $ \ left [C_j \ left (a \ right) \ right] $ = $ C_j ^ 1 \ left (C_j \ left (a \ right) \ right) $ con $ C_j ^ 1 $ por $ a \: \ in \: A $

La decisión difusa en el caso anterior viene dada por:

$$ F_D = min [i \ in X_ {n} ^ {in} fG_i \ left (a \ right), j \ in X_ {m} ^ {in} fC_j \ left (a \ right)] $$

Toma de decisiones entre varias personas

La toma de decisiones en este caso incluye a varias personas, de modo que el conocimiento experto de varias personas se utiliza para tomar decisiones.

El cálculo para esto se puede dar de la siguiente manera:

Number of persons preferring $x_i$ to $x_j$ = $ N \ left (x_i, \: x_j \ right) $

Total number of decision makers = $ n $

Entonces, $ SC \ left (x_i, \: x_j \ right) = \ frac {N \ left (x_i, \: x_j \ right)} {n} $

Toma de decisiones multiobjetivo

La toma de decisiones multiobjetivo ocurre cuando hay varios objetivos por realizar. Hay dos cuestiones siguientes en este tipo de toma de decisiones:

  • Adquirir información adecuada relacionada con la satisfacción de los objetivos por diversas alternativas.

  • Sopesar la importancia relativa de cada objetivo.

Matemáticamente podemos definir un universo de n alternativas como -

$ A = \ left [a_1, \: a_2, \: ..., \: a_i, \: ..., \: a_n \ right] $

Y el conjunto de objetivos "m" como $ O = \ left [o_1, \: o_2, \: ..., \: o_i, \: ..., \: o_n \ right] $

Toma de decisiones de atributos múltiples

La toma de decisiones multiatributo tiene lugar cuando la evaluación de alternativas se puede llevar a cabo en base a varios atributos del objeto. Los atributos pueden ser datos numéricos, datos lingüísticos y datos cualitativos.

Matemáticamente, la evaluación de atributos múltiples se lleva a cabo sobre la base de la ecuación lineal de la siguiente manera:

$$ Y = A_1X_1 + A_2X_2 + ... + A_iX_i + ... + A_rX_r $$

La lógica difusa se aplica con gran éxito en varias aplicaciones de control. Casi todos los productos de consumo tienen un control difuso. Algunos de los ejemplos incluyen el control de la temperatura de su habitación con la ayuda de aire acondicionado, sistema anti-frenado utilizado en vehículos, control en semáforos, lavadoras, grandes sistemas económicos, etc.

Por qué utilizar lógica difusa en sistemas de control

Un sistema de control es una disposición de componentes físicos diseñada para alterar otro sistema físico de modo que este sistema exhiba ciertas características deseadas. A continuación se presentan algunas razones para utilizar la lógica difusa en los sistemas de control:

  • Al aplicar el control tradicional, es necesario conocer el modelo y la función objetivo formulados en términos precisos. Esto hace que sea muy difícil de aplicar en muchos casos.

  • Al aplicar la lógica difusa para el control, podemos utilizar la experiencia y los conocimientos humanos para diseñar un controlador.

  • Las reglas de control difuso, básicamente las reglas SI-ENTONCES, se pueden utilizar mejor para diseñar un controlador.

Supuestos en el diseño de control de lógica difusa (FLC)

Al diseñar el sistema de control difuso, se deben hacer las siguientes seis suposiciones básicas:

  • The plant is observable and controllable - Se debe suponer que las variables de entrada, salida y estado están disponibles para fines de observación y control.

  • Existence of a knowledge body - Se debe suponer que existe un cuerpo de conocimiento que tiene reglas lingüísticas y un conjunto de datos de entrada y salida del cual se pueden extraer reglas.

  • Existence of solution - Debe asumirse que existe una solución.

  • ‘Good enough’ solution is enough - La ingeniería de control debe buscar una solución "suficientemente buena" en lugar de una óptima.

  • Range of precision - El controlador de lógica difusa debe diseñarse dentro de un rango de precisión aceptable.

  • Issues regarding stability and optimality - Los problemas de estabilidad y optimización deben estar abiertos al diseñar el controlador de lógica difusa en lugar de abordarlos explícitamente.

Arquitectura del control de lógica difusa

El siguiente diagrama muestra la arquitectura de Fuzzy Logic Control (FLC).

Componentes principales de FLC

Los siguientes son los componentes principales del FLC como se muestra en la figura anterior:

  • Fuzzifier - La función del difusor es convertir los valores de entrada nítidos en valores difusos.

  • Fuzzy Knowledge Base- Almacena el conocimiento sobre todas las relaciones difusas entrada-salida. También tiene la función de membresía que define las variables de entrada a la base de reglas difusas y las variables de salida a la planta bajo control.

  • Fuzzy Rule Base - Almacena el conocimiento sobre el funcionamiento del proceso de dominio.

  • Inference Engine- Actúa como núcleo de cualquier FLC. Básicamente, simula decisiones humanas realizando un razonamiento aproximado.

  • Defuzzifier - La función del defuzzifier es convertir los valores difusos en valores nítidos que se obtienen del motor de inferencia difusa.

Pasos para diseñar FLC

Los siguientes son los pasos involucrados en el diseño de FLC:

  • Identification of variables - Aquí se deben identificar las variables de entrada, salida y estado de la planta que se está considerando.

  • Fuzzy subset configuration- El universo de información se divide en varios subconjuntos difusos y a cada subconjunto se le asigna una etiqueta lingüística. Asegúrese siempre de que estos subconjuntos difusos incluyan todos los elementos del universo.

  • Obtaining membership function - Ahora obtenga la función de pertenencia para cada subconjunto difuso que obtenemos en el paso anterior.

  • Fuzzy rule base configuration - Ahora formule la base de reglas difusas asignando la relación entre la entrada y la salida difusas.

  • Fuzzification - El proceso de fuzzificación se inicia en este paso.

  • Combining fuzzy outputs - Al aplicar el razonamiento aproximado difuso, localice la salida difusa y combínelos.

  • Defuzzification - Finalmente, inicie el proceso de defuzzificación para obtener una salida nítida.

Ventajas del control de lógica difusa

Analicemos ahora las ventajas de Fuzzy Logic Control.

  • Cheaper - Desarrollar un FLC es comparativamente más económico que desarrollar un controlador basado en modelo u otro en términos de rendimiento.

  • Robust - Los FLC son más robustos que los controladores PID debido a su capacidad para cubrir una amplia gama de condiciones operativas.

  • Customizable - Los FLC son personalizables.

  • Emulate human deductive thinking - Básicamente, FLC está diseñado para emular el pensamiento deductivo humano, el proceso que las personas utilizan para inferir conclusiones a partir de lo que saben.

  • Reliability - FLC es más confiable que el sistema de control convencional.

  • Efficiency - La lógica difusa proporciona más eficiencia cuando se aplica en el sistema de control.

Desventajas del control de lógica difusa

Ahora discutiremos cuáles son las desventajas de Fuzzy Logic Control.

  • Requires lots of data - FLC necesita muchos datos para aplicar.

  • Useful in case of moderate historical data - FLC no es útil para programas mucho más pequeños o más grandes que los datos históricos.

  • Needs high human expertise - Este es un inconveniente ya que la precisión del sistema depende del conocimiento y la experiencia de los seres humanos.

  • Needs regular updating of rules - Las reglas deben actualizarse con el tiempo.

En este capítulo, discutiremos qué es un controlador difuso adaptativo y cómo funciona. Adaptive Fuzzy Controller está diseñado con algunos parámetros ajustables junto con un mecanismo integrado para ajustarlos. El controlador adaptativo se ha utilizado para mejorar el rendimiento del controlador.

Pasos básicos para implementar un algoritmo adaptativo

Analicemos ahora los pasos básicos para implementar el algoritmo adaptativo.

  • Collection of observable data - Los datos observables se recopilan para calcular el desempeño del controlador.

  • Adjustment of controller parameters - Ahora, con la ayuda del rendimiento del controlador, se realizaría el cálculo del ajuste de los parámetros del controlador.

  • Improvement in performance of controller - En este paso, los parámetros del controlador se ajustan para mejorar el rendimiento del controlador.

Conceptos operativos

El diseño de un controlador se basa en un modelo matemático supuesto que se asemeja a un sistema real. Se calcula el error entre el sistema real y su representación matemática y, si es relativamente insignificante, se supone que el modelo funciona con eficacia.

También existe una constante de umbral que establece un límite para la efectividad de un controlador. La entrada de control se alimenta tanto al sistema real como al modelo matemático. Aquí, suponga que $ x \ left (t \ right) $ es la salida del sistema real y $ y \ left (t \ right) $ es la salida del modelo matemático. Luego, el error $ \ epsilon \ left (t \ right) $ se puede calcular de la siguiente manera:

$$ \ epsilon \ left (t \ right) = x \ left (t \ right) - y \ left (t \ right) $$

Aquí, $ x $ deseada es la salida que queremos del sistema y $ \ mu \ left (t \ right) $ es la salida que viene del controlador y va tanto al modelo real como al matemático.

El siguiente diagrama muestra cómo se rastrea la función de error entre la salida de un sistema real y el modelo matemático:

Parametrización del sistema

Un controlador difuso cuyo diseño se basa en el modelo matemático difuso tendrá la siguiente forma de reglas difusas:

Rule 1 - SI $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {11} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {1i} $

ENTONCES $ \ mu _1 \ left (t_n \ right) = K_ {11} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {12} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {1i } x_i \ left (t_n \ right) $

Rule 2 - SI $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {21} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {2i} $

ENTONCES $ \ mu _2 \ left (t_n \ right) = K_ {21} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {22} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {2i } x_i \ left (t_n \ right) $

.

.

.

Rule j - SI $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {k1} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {ki} $

ENTONCES $ \ mu _j \ left (t_n \ right) = K_ {j1} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {j2} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {ji } x_i \ left (t_n \ right) $

El conjunto de parámetros anterior caracteriza al controlador.

Ajuste del mecanismo

Los parámetros del controlador se ajustan para mejorar el rendimiento del controlador. El proceso de cálculo del ajuste a los parámetros es el mecanismo de ajuste.

Matemáticamente, dejemos que $ \ theta ^ \ left (n \ right) $ sea un conjunto de parámetros que se ajustarán en el momento $ t = t_n $. El ajuste puede ser el recálculo de los parámetros,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ Theta \ left (D_0, \: D_1, \: ..., \: D_n \ right) $$

Aquí $ D_n $ son los datos recopilados en el momento $ t = t_n $.

Ahora esta formulación se reformula mediante la actualización del conjunto de parámetros en función de su valor anterior como,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ phi (\ theta ^ {n-1}, \: D_n) $$

Parámetros para seleccionar un controlador difuso adaptativo

Los siguientes parámetros deben tenerse en cuenta para seleccionar un controlador difuso adaptativo:

  • ¿Se puede aproximar el sistema en su totalidad mediante un modelo difuso?

  • Si un sistema puede aproximarse por completo mediante un modelo difuso, ¿están disponibles los parámetros de este modelo difuso o deben determinarse en línea?

  • Si un sistema no puede aproximarse por completo mediante un modelo difuso, ¿se puede aproximar por partes mediante un conjunto de modelos difusos?

  • Si un sistema puede ser aproximado por un conjunto de modelos difusos, ¿estos modelos tienen el mismo formato con diferentes parámetros o tienen diferentes formatos?

  • Si un sistema puede aproximarse mediante un conjunto de modelos difusos que tienen el mismo formato, cada uno con un conjunto diferente de parámetros, ¿estos conjuntos de parámetros están disponibles fácilmente o deben determinarse en línea?

La red neuronal artificial (ANN) es una red de sistemas informáticos eficientes cuyo tema central se toma prestado de la analogía de las redes neuronales biológicas. Las ANN también se denominan "sistemas neuronales artificiales", sistemas de procesamiento distribuidos en paralelo "," sistemas conexionistas ". ANN adquiere una gran colección de unidades que están interconectadas en algún patrón para permitir las comunicaciones entre unidades. Estas unidades, también denominadas nodos o neuronas, son procesadores simples que operan en paralelo.

Cada neurona está conectada con otra neurona a través de un enlace de conexión. Cada enlace de conexión está asociado con un peso que tiene la información sobre la señal de entrada. Esta es la información más útil para que las neuronas resuelvan un problema particular porque el peso generalmente inhibe la señal que se está comunicando. Cada neurona tiene su estado interno que se llama señal de activación. Las señales de salida, que se producen después de combinar las señales de entrada y la regla de activación, pueden enviarse a otras unidades. También consta de un sesgo 'b' cuyo peso es siempre 1.

Por qué utilizar Fuzzy Logic en Neural Network

Como hemos comentado anteriormente, cada neurona en ANN está conectada con otra neurona a través de un enlace de conexión y ese enlace está asociado con un peso que tiene la información sobre la señal de entrada. Por tanto, podemos decir que los pesos tienen la información útil sobre la entrada para resolver los problemas.

A continuación se presentan algunas razones para utilizar lógica difusa en redes neuronales:

  • La lógica difusa se utiliza en gran medida para definir los pesos, a partir de conjuntos difusos, en redes neuronales.

  • Cuando no es posible aplicar valores nítidos, se utilizan valores difusos.

  • Ya hemos estudiado que el entrenamiento y el aprendizaje ayudan a que las redes neuronales funcionen mejor en situaciones inesperadas. En ese momento, los valores difusos serían más aplicables que los valores nítidos.

  • Cuando utilizamos lógica difusa en redes neuronales, los valores no deben ser nítidos y el procesamiento se puede realizar en paralelo.

Mapa cognitivo difuso

Es una forma de confusión en las redes neuronales. Básicamente, FCM es como una máquina de estado dinámico con estados difusos (no solo 1 o 0).

Dificultad para usar la lógica difusa en redes neuronales

A pesar de tener numerosas ventajas, también existen algunas dificultades al utilizar la lógica difusa en las redes neuronales. La dificultad está relacionada con las reglas de pertenencia, la necesidad de construir un sistema difuso, porque a veces es complicado deducirlo con el conjunto dado de datos complejos.

Lógica difusa entrenada por los nervios

La relación inversa entre la red neuronal y la lógica difusa, es decir, la red neuronal utilizada para entrenar la lógica difusa, también es una buena área de estudio. A continuación se presentan dos razones principales para construir lógica difusa con entrenamiento neuronal:

  • Los nuevos patrones de datos se pueden aprender fácilmente con la ayuda de redes neuronales, por lo tanto, se pueden utilizar para preprocesar datos en sistemas difusos.

  • La red neuronal, debido a su capacidad para aprender nuevas relaciones con nuevos datos de entrada, se puede utilizar para refinar reglas difusas para crear un sistema adaptativo difuso.

Ejemplos de sistema difuso con entrenamiento neuronal

Los sistemas Fuzzy entrenados neuralmente se están utilizando en muchas aplicaciones comerciales. Veamos ahora algunos ejemplos en los que se aplica el sistema difuso entrenado neuronal:

  • El Laboratorio de Investigación Internacional de Ingeniería Fuzzy (LIFE) en Yokohama, Japón, tiene una red neuronal de retropropagación que deriva reglas difusas. Este sistema se ha aplicado con éxito al sistema de comercio de divisas con aproximadamente 5000 reglas difusas.

  • Ford Motor Company ha desarrollado sistemas difusos entrenables para el control del ralentí de los automóviles.

  • NeuFuz, producto de software de National Semiconductor Corporation, admite la generación de reglas difusas con una red neuronal para aplicaciones de control.

  • AEG Corporation de Alemania utiliza un sistema de control difuso con entrenamiento neuronal para su máquina de conservación de agua y energía. Tiene un total de 157 reglas difusas.

En este capítulo, discutiremos los campos en los que se aplican ampliamente los conceptos de lógica difusa.

Aeroespacial

En la industria aeroespacial, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Control de altitud de la nave espacial
  • Control de altitud por satélite
  • Regulación de flujo y mezcla en vehículos de descongelación de aeronaves

Automotor

En automoción, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Sistemas difusos entrenables para el control del ralentí
  • Método de programación de cambios para transmisión automática
  • Sistemas de carreteras inteligentes
  • Control de trafico
  • Mejora de la eficiencia de las transmisiones automáticas

Negocio

En los negocios, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Sistemas de apoyo a la toma de decisiones
  • Evaluación de personal en una gran empresa

Defensa

En defensa, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Reconocimiento de objetivos submarinos
  • Reconocimiento automático de objetivos de imágenes térmicas infrarrojas
  • Ayudas de apoyo a las decisiones navales
  • Control de un interceptor de hipervelocidad
  • Modelado de conjuntos difusos de la toma de decisiones de la OTAN

Electrónica

En electrónica, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Control de exposición automática en cámaras de video
  • Humedad en una sala limpia
  • Sistemas de aire acondicionado
  • Sincronización de la lavadora
  • Hornos de microondas
  • Aspiradoras

Finanzas

En el campo de las finanzas, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Control de transferencia de billetes
  • Gestión de fondos
  • Predicciones del mercado de valores

Sector industrial

En la industria, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • El horno de cemento controla el control del intercambiador de calor
  • Control del proceso de tratamiento de aguas residuales de lodos activados
  • Control de plantas depuradoras de agua
  • Análisis de patrones cuantitativos para el aseguramiento de la calidad industrial
  • Control de problemas de satisfacción de restricciones en el diseño estructural
  • Control de plantas potabilizadoras

Fabricación

En la industria manufacturera, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Optimización de la producción de queso
  • Optimización de la producción de leche

Marina

En el campo marino, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Piloto automático para barcos
  • Selección de ruta óptima
  • Control de vehículos submarinos autónomos
  • Dirección de barco

Médico

En el campo médico, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Sistema de apoyo al diagnóstico médico
  • Control de la presión arterial durante la anestesia.
  • Control multivariable de la anestesia
  • Modelización de hallazgos neuropatológicos en pacientes con Alzheimer
  • Diagnósticos radiológicos
  • Diagnóstico de inferencia difusa de diabetes y cáncer de próstata

Valores

En valores, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Sistemas de decisión para la negociación de valores
  • Varios dispositivos de seguridad

Transporte

En el transporte, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Operación automática de trenes subterráneos
  • Control de horarios de trenes
  • Aceleración ferroviaria
  • Frenado y frenado

Reconocimiento y clasificación de patrones

En Reconocimiento y clasificación de patrones, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Reconocimiento de voz basado en lógica difusa
  • Basado en lógica difusa
  • Reconocimiento de escritura a mano
  • Análisis de características faciales basado en lógica difusa
  • Análisis de comandos
  • Búsqueda de imágenes borrosas

Psicología

En psicología, la lógica difusa se utiliza en las siguientes áreas:

  • Análisis basado en lógica difusa del comportamiento humano
  • Investigación y prevención criminal basada en razonamiento lógico difuso