Comunicación analógica: cálculos de SNR
En este capítulo, calculemos la relación señal / ruido y la figura de méritos de varias ondas moduladas, que se demodulan en el receptor.
Relación señal a ruido
Signal-to-Noise Ratio (SNR)es la relación entre la potencia de la señal y la potencia del ruido. Cuanto mayor sea el valor de SNR, mayor será la calidad de la salida recibida.
La relación señal-ruido en diferentes puntos se puede calcular utilizando las siguientes fórmulas.
Input SNR = $ \ left (SNR \ right) _I = \ frac {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: modulando \: \: señal} {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: entrada} $
Output SNR = $ \ left (SNR \ right) _O = \ frac {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: señal \: \: demodulada} {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: salida} $
Channel SNR = $ \ left (SNR \ right) _C = \ frac {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: modulada \: \: señal} {Promedio \: \: potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: mensaje \: \: ancho de banda} $
Figura de mérito
La relación de SNR de salida y SNR de entrada se puede denominar como Figure of Merit. Se denota porF. Describe el rendimiento de un dispositivo.
$$ F = \ frac {\ izquierda (SNR \ derecha) _O} {\ izquierda (SNR \ derecha) _I} $$
La figura de mérito de un receptor es
$$ F = \ frac {\ izquierda (SNR \ derecha) _O} {\ izquierda (SNR \ derecha) _C} $$
Es así porque para un receptor, el canal es la entrada.
Cálculos SNR en el sistema AM
Considere el siguiente modelo de receptor del sistema AM para analizar el ruido.
Sabemos que la onda de amplitud modulada (AM) es
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_ck_am \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
La potencia media de la onda AM es
$$ P_s = \ left (\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ PS
$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$
La potencia media del ruido en el ancho de banda del mensaje es
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sustituya, estos valores en channel SNR fórmula
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: AM \: \: Wave} {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: mensaje \: \: ancho de banda} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P } {2WN_0} $$
Dónde,
P es el poder de la señal del mensaje = $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $
W es el ancho de banda del mensaje
Suponga que el ruido de paso de banda se mezcla con la onda AM en el canal como se muestra en la figura anterior. Esta combinación se aplica a la entrada del demodulador AM. Por lo tanto, la entrada del demodulador AM es.
$$ v \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $
$ \ left [n_1 \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = \ left [A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
Donde $ n_I \ left (t \ right) $ y $ n_Q \ left (t \ right) $ están en componentes de fase y fase en cuadratura del ruido.
La salida del demodulador AM no es más que la envolvente de la señal anterior.
$$ d \ left (t \ right) = \ sqrt {\ left [A_c + A_cK_am \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] ^ 2 + \ left (n_Q \ left (t \ right) \ right) ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow d \ left (t \ right) \ approx A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) $$
La potencia media de la señal demodulada es
$$ P_m = \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$
La potencia media del ruido en la salida es
$$ P_no = WN_0 $$
Sustituya, estos valores en output SNR fórmula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: señal \: \: demodulada} {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: Salida} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Sustituir, los valores en Figure of merit de la fórmula del receptor AM.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, AM}} {\ left (SNR \ right) _ {C, AM}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P} {2WN_0} \ right) $$
$$ \ Flecha derecha F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$
Por lo tanto, la cifra de mérito del receptor de AM es menor que uno.
Cálculos de SNR en el sistema DSBSC
Considere el siguiente modelo de receptor del sistema DSBSC para analizar el ruido.
Sabemos que la onda modulada DSBSC es
$$ s \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
La potencia media de la onda modulada DSBSC es
$$ P_s = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$
La potencia media del ruido en el ancho de banda del mensaje es
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sustituya, estos valores en channel SNR fórmula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: DSBSC \: \: modulada \: \: onda} {Promedio \: \: Energía \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: mensaje \: \: ancho de banda} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Suponga que el ruido de paso de banda se mezcla con la onda modulada DSBSC en el canal como se muestra en la figura anterior. Esta combinación se aplica como una de las entradas al modulador de producto. Por tanto, la entrada de este modulador de producto es
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ left [n_I \ left (t \ right) \ cos \ left ( 2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = \ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
El oscilador local genera la señal portadora $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Esta señal se aplica como otra entrada al modulador de producto. Por lo tanto, el modulador de producto produce una salida, que es el producto de $ v_1 \ left (t \ right) $ y $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
Sustituye los valores $ v_1 \ left (t \ right) $ y $ c \ left (t \ right) $ en la ecuación anterior.
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left (\ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right ) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right ) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ left (\ frac {1+ \ cos \ left ( 4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$
Cuando la señal anterior se aplica como entrada al filtro de paso bajo, obtendremos la salida del filtro de paso bajo como
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {\ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right]} {2} $$
La potencia media de la señal demodulada es
$$ P_m = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$
La potencia media del ruido en la salida es
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Sustituya, estos valores en output SNR fórmula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: señal \: \: demodulada} {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: Salida} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right) / \ left (\ frac {WN_0 } {4} \ right) = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
Sustituir, los valores en Figure of merit de la fórmula del receptor DSBSC.
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ derecha) $$
$$ \ Flecha derecha F = 1 $$
Por lo tanto, la cifra de mérito del receptor DSBSC es 1.
Cálculos de SNR en el sistema SSBSC
Considere el siguiente modelo de receptor del sistema SSBSC para analizar el ruido.
Sabemos que la onda modulada SSBSC que tiene una banda lateral inferior es
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $$
La potencia media de la onda modulada SSBSC es
$$ P_s = \ left (\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$
La potencia media del ruido en el ancho de banda del mensaje es
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
Sustituya, estos valores en channel SNR fórmula.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: SSBSC \: \: modulada \: \: onda} {Promedio \: \: Energía \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: mensaje \: \: ancho de banda} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Suponga que el ruido de paso de banda se mezcla con la onda modulada SSBSC en el canal como se muestra en la figura anterior. Esta combinación se aplica como una de las entradas al modulador de producto. Por tanto, la entrada de este modulador de producto es
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ v_1 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] + n_I \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
El oscilador local genera la señal portadora $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Esta señal se aplica como otra entrada al modulador de producto. Por lo tanto, el modulador de producto produce una salida, que es el producto de $ v_1 \ left (t \ right) $ y $ c \ left (t \ right) $.
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
Sustituye los valores $ v_1 \ left (t \ right) $ y $ c \ left (t \ right) $ en la ecuación anterior.
$ \ Flecha derecha v_2 (t) = (\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi (f_c-f_m) t] + n_I (t) \ cos (2 \ pi f_ct) - $
$ n_Q (t) \ sin (2 \ pi f_ct)) \ cos (2 \ pi f_ct) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ derecha) + $
$ n_I \ left (t \ right) \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left (2f_c-f_m \ right) t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right \} + $
$ n_I \ left (t \ right) \ left (\ frac {1+ \ cos \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $
Cuando la señal anterior se aplica como entrada al filtro de paso bajo, obtendremos la salida del filtro de paso bajo como
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) + \ frac {n_I \ left (t \ right)} {2} $$
La potencia media de la señal demodulada es
$$ P_m = \ left (\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$
La potencia media del ruido en la salida es
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
Sustituya, estos valores en output SNR fórmula
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ frac {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: señal \: \: demodulada} {Promedio \: \: Potencia \: \: de \: \: ruido \: \: en \: \: salida} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right ) / \ left (\ frac {WN_0} {4} \ right) = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
Sustituir, los valores en Figure of merit de la fórmula del receptor SSBSC
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC}} $$
$$ F = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ derecha) $$
$$ F = 1 $$
Por tanto, la Cifra de mérito del receptor SSBSC es 1.