Amplitud modulada
Una onda continua pasa continuamente sin intervalos y es la señal del mensaje de banda base la que contiene la información. Esta onda debe modularse.
Según la definición estándar, "La amplitud de la señal portadora varía de acuerdo con la amplitud instantánea de la señal moduladora". Lo que significa que la amplitud de la señal portadora que no contiene información varía según la amplitud de la señal que contiene información, en cada instante. Esto se puede explicar bien con las siguientes figuras.
La primera figura muestra la onda moduladora, que es la señal del mensaje. La siguiente es la onda portadora, que es una señal de alta frecuencia y no contiene información. Mientras, el último es la onda modulada resultante.
Se puede observar que los picos positivos y negativos de la onda portadora, están interconectados con una línea imaginaria. Esta línea ayuda a recrear la forma exacta de la señal moduladora. Esta línea imaginaria en la onda portadora se llamaEnvelope. Es el mismo que el de la señal de mensaje.
Expresiones Matemáticas
Las siguientes son las expresiones matemáticas para estas ondas.
Representación de las ondas en el dominio del tiempo
Sea la señal moduladora,
$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
y la señal portadora sea,
$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Dónde,
$ A_m $ y $ A_c $ son la amplitud de la señal moduladora y la señal portadora respectivamente.
$ f_m $ y $ f_c $ son la frecuencia de la señal moduladora y la señal portadora respectivamente.
Entonces, la ecuación de onda modulada en amplitud será
$ s (t) = \ left [A_c + A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ (Ecuación 1)
Índice de modulación
Una onda portadora, después de ser modulada, si se calcula el nivel modulado, tal intento se denomina como Modulation Index o Modulation Depth. Indica el nivel de modulación que experimenta una onda portadora.
Reorganice la Ecuación 1 como se muestra a continuación.
$ s (t) = A_c \ left [1+ \ left (\ frac {A_m} {A_c} \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ ( Ecuación 2)
Donde, $ \ mu $ es el índice de modulación y es igual a la relación de $ A_m $ y $ A_c $. Matemáticamente, podemos escribirlo como
$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ (Ecuación 3)
Por lo tanto, podemos calcular el valor del índice de modulación utilizando la fórmula anterior, cuando se conocen las amplitudes del mensaje y las señales portadoras.
Ahora, derivemos una fórmula más para el índice de modulación considerando la ecuación 1. Podemos usar esta fórmula para calcular el valor del índice de modulación, cuando se conocen las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.
Sean $ A_ \ max $ y $ A_ \ min $ las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.
Obtendremos la amplitud máxima de la onda modulada, cuando $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ es 1.
$ \ Flecha derecha A_ \ max = A_c + A_m $ (Ecuación 4)
Obtendremos la amplitud mínima de la onda modulada, cuando $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ es -1.
$ \ Flecha derecha A_ \ min = A_c - A_m $ (Ecuación 5)
Sume la ecuación 4 y la ecuación 5.
$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \ Flecha derecha A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ (Ecuación 6)
Reste la ecuación 5 de la ecuación 4.
$$ A_ \ max - A_ \ min = A_c + A_m - \ left (A_c -A_m \ right) = 2A_m $$
$ \ Flecha derecha A_m = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {2} $ (Ecuación 7)
La razón de la Ecuación 7 y la Ecuación 6 será la siguiente.
$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left (A_ {max} - A_ {min} \ right) / 2} {\ left (A_ {max} + A_ {min} \ right) / 2 } $$
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ (Ecuación 8)
Por lo tanto, la Ecuación 3 y la Ecuación 8 son las dos fórmulas para el índice de modulación. El índice de modulación o la profundidad de modulación a menudo se denota en porcentaje llamado porcentaje de modulación. Obtendremos elpercentage of modulation, simplemente multiplicando el valor del índice de modulación por 100.
Para una modulación perfecta, el valor del índice de modulación debe ser 1, lo que implica que el porcentaje de modulación debe ser del 100%.
Por ejemplo, si este valor es menor que 1, es decir, el índice de modulación es 0.5, entonces la salida modulada se vería como la siguiente figura. Se llama comoUnder-modulation. Tal ola se llama comounder-modulated wave.
Si el valor del índice de modulación es mayor que 1, es decir, 1,5 aproximadamente, entonces la onda será un over-modulated wave. Se vería como la siguiente figura.
A medida que aumenta el valor del índice de modulación, la portadora experimenta una inversión de fase de 180 ° , lo que provoca bandas laterales adicionales y, por lo tanto, la onda se distorsiona. Una onda tan sobremodulada provoca interferencias que no pueden eliminarse.
Ancho de banda de onda AM
Bandwidth(BW) es la diferencia entre las frecuencias más alta y más baja de la señal. Matemáticamente, podemos escribirlo como
$$ BW = f_ {max} - f_ {min} $$
Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_c \ mu \ cos (2 \ pi f_ct) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ right) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
Por tanto, la onda modulada en amplitud tiene tres frecuencias. Esos son la frecuencia portadora $ f_c $, la frecuencia de banda lateral superior $ f_c + f_m $ y la frecuencia de banda lateral inferior $ f_c-f_m $
Aquí,
$ f_ {max} = f_c + f_m $ y $ f_ {min} = f_c-f_m $
Sustituya los valores $ f_ {max} $ y $ f_ {min} $ en la fórmula del ancho de banda.
$$ BW = f_c + f_m- \ left (f_c-f_m \ right) $$
$$ \ Flecha derecha BW = 2f_m $$
Por tanto, se puede decir que el ancho de banda requerido para la onda modulada en amplitud es el doble de la frecuencia de la señal moduladora.
Cálculos de potencia de onda AM
Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.
$ \ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ derecha) t \ derecha] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
La potencia de la onda AM es igual a la suma de las potencias de los componentes de frecuencia de la portadora, la banda lateral superior y la banda lateral inferior.
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
Sabemos que la fórmula estándar para la potencia de la señal cos es
$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left (v_m / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {2} $$
Dónde,
$ v_ {rms} $ es el valor rms de la señal cos.
$ v_m $ es el valor máximo de la señal cos.
Primero, encontremos los poderes del portador, la banda lateral superior e inferior uno por uno.
Poder del portador
$$ P_c = \ frac {\ left (A_c / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Potencia de banda lateral superior
$$ P_ {USB} = \ frac {\ left (A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Del mismo modo, obtendremos la potencia de la banda lateral inferior igual que la potencia de la banda lateral superior.
$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Ahora, agreguemos estos tres poderes para obtener el poder de la onda AM.
$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \ Rightarrow P_t = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right) \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ mu ^ 2} {4} \ right) $$
$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$
Podemos usar la fórmula anterior para calcular la potencia de la onda AM, cuando se conocen la potencia de la portadora y el índice de modulación.
Si el índice de modulación $ \ mu = 1 $ entonces la potencia de la onda AM es igual a 1,5 veces la potencia de la portadora. Entonces, la potencia requerida para transmitir una onda AM es 1.5 veces la potencia de la portadora para una modulación perfecta.