Sistemas de radar: ecuación de alcance

La ecuación del alcance del radar es útil para conocer el alcance del objetivo theoretically. En este capítulo, discutiremos la forma estándar de la ecuación de rango de radar y luego discutiremos sobre las dos formas modificadas de la ecuación de rango de radar.

Obtendremos esas formas modificadas de ecuación de rango de radar a partir de la forma estándar de ecuación de rango de radar. Ahora, analicemos la derivación de la forma estándar de la ecuación de rango de radar.

Derivación de la ecuación del alcance del radar

La forma estándar de la ecuación de rango de radar también se denomina forma simple de ecuación de rango de radar. Ahora, derivemos la forma estándar de la ecuación de rango de radar.

Lo sabemos power densityno es más que la relación de potencia y área. Entonces, la densidad de potencia, $ P_ {di} $ a una distancia, R del Radar se puede representar matemáticamente como -

$$ P_ {di} = \ frac {P_t} {4 \ pi R ^ 2} \: \: \: \: \: Ecuación \: 1 $$

Dónde,

$ P_t $ es la cantidad de potencia transmitida por el transmisor de radar

La densidad de potencia anterior es válida para una antena isotrópica. En general, los radares utilizan antenas direccionales. Por lo tanto, la densidad de potencia, $ P_ {dd} $ debido a la antena direccional será:

$$ P_ {dd} = \ frac {P_tG} {4 \ pi R ^ 2} \: \: \: \: \: Ecuación \: 2 $$

El objetivo irradia la potencia en diferentes direcciones desde la potencia de entrada recibida. La cantidad de potencia que se refleja hacia el radar depende de su sección transversal. Entonces, la densidad de potencia $ P_ {de} $ de la señal de eco en Radar se puede representar matemáticamente como:

$$ P_ {de} = P_ {dd} \ left (\ frac {\ sigma} {4 \ pi R ^ 2} \ right) \: \: \: \: \: Ecuación \: 3 $$ Sustituir, Ecuación 2 en la Ecuación 3.

$$ P_ {de} = \ left (\ frac {P_tG} {4 \ pi R ^ 2} \ right) \ left (\ frac {\ sigma} {4 \ pi R ^ 2} \ right) \: \: \: \: \: Ecuación \: 4 $$

La cantidad de power, $P_r$ received por el radar depende de la apertura efectiva, $ A_e $ de la antena receptora.

$$ P_r = P_ {de} A_e \: \: \: \: \: Ecuación \: 5 $$

Sustituya la Ecuación 4 en la Ecuación 5.

$$ P_r = \ left (\ frac {P_tG} {4 \ pi R ^ 2} \ right) \ left (\ frac {\ sigma} {4 \ pi R ^ 2} \ right) A_e $$

$$ \ Rightarrow P_r = \ frac {P_tG \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 R ^ 4} $$

$$ \ Rightarrow R ^ 4 = \ frac {P_tG \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 P_r} $$

$$ \ Rightarrow R = \ left [\ frac {P_tG \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 P_r} \ right] ^ {1/4} \: \: \: \: \: Ecuación \: 6 $$

Forma estándar de ecuación de alcance de radar

Si la señal de eco tiene una potencia menor que la potencia de la señal mínima detectable, entonces el radar no puede detectar el objetivo ya que está más allá del límite máximo del rango del radar.

Por lo tanto, podemos decir que se dice que el rango del objetivo es el rango máximo cuando la señal de eco recibida tiene una potencia igual a la de la señal mínima detectable. Obtendremos la siguiente ecuación, sustituyendo $ R = R_ {Max} $ y $ P_r = S_ {min} $ en la Ecuación 6.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {P_tG \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 S_ {min}} \ right] ^ {1/4} \: \: \: \: \: Ecuación \: 7 $$

La ecuación 7 representa la standard formde la ecuación del alcance del radar. Al usar la ecuación anterior, podemos encontrar el rango máximo del objetivo.

Formas modificadas de ecuación de rango de radar

Conocemos la siguiente relación entre la ganancia de la antena direccional, $ G $ y la apertura efectiva, $ A_e $.

$$ G = \ frac {4 \ pi A_e} {\ lambda ^ 2} \: \: \: \: \: Ecuación \: 8 $$

Sustituya la Ecuación 8 en la Ecuación 7.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {P_t \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2S_ {min}} \ left (\ frac {4 \ pi A_e} {\ lambda ^ 2 } \ derecha) \ derecha] ^ {1/4} $$

$$ \ Rightarrow R_ {Max} = \ left [\ frac {P_tG \ sigma {A_e} ^ 2} {4 \ pi \ lambda ^ 2 S_ {min}} \ right] ^ {1/4} \: \: \: \: \: Ecuación \: 9 $$

La ecuación 9 representa la modified formde la ecuación del alcance del radar. Al usar la ecuación anterior, podemos encontrar el rango máximo del objetivo.

Obtendremos la siguiente relación entre la apertura efectiva, $ A_e $ y la ganancia de la antena direccional, $ G $ de la Ecuación 8.

$$ A_e = \ frac {G \ lambda ^ 2} {4 \ pi} \: \: \: \: \: Ecuación \: 10 $$

Sustituya la Ecuación 10 en la Ecuación 7.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {P_tG \ sigma} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 S_ {min}} (\ frac {G \ lambda ^ 2} {4 \ pi}) \ right] ^ {1/4} $$

$$ \ Rightarrow R_ {Max} = \ left [\ frac {P_tG ^ 2 \ lambda ^ 2 \ sigma} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 S_ {min}} \ right] ^ {1/4 } \: \: \: \: \: Ecuación \: 11 $$

La ecuación 11 representa another modified form de la ecuación del alcance del radar. Al usar la ecuación anterior, podemos encontrar el rango máximo del objetivo.

Note - Con base en los datos proporcionados, podemos encontrar el rango máximo del objetivo utilizando una de estas tres ecuaciones, a saber

• Ecuación 7
• Ecuación 9
• Ecuación 11

Problemas de ejemplo

En la sección anterior, obtuvimos las formas estándar y modificada de la ecuación de rango del radar. Ahora, resolvamos algunos problemas usando esas ecuaciones.

Problema 1

Calcula el maximum range of Radar para las siguientes especificaciones:

• Pico de potencia transmitido por el radar, $ P_t = 250KW $
• Ganancia de la antena transmisora, $ G = 4000 $
• Apertura efectiva de la antena receptora, $ A_e = 4 \: m ^ 2 $
• Sección transversal del radar del objetivo, $ \ sigma = 25 \: m ^ 2 $
• Potencia de la señal mínima detectable, $ S_ {min} = 10 ^ {- 12} W $

Solución

Podemos usar lo siguiente standard form de la ecuación de alcance del radar para calcular el alcance máximo del radar para especificaciones dadas.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {P_tG \ sigma A_e} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 S_ {min}} \ right] ^ {1/4} $$

Substitute todos los parámetros dados en la ecuación anterior.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {\ left (250 \ times 10 ^ 3 \ right) \ left (4000 \ right) \ left (25 \ right) \ left (4 \ right)} {\ left (4 \ pi \ right) ^ 2 \ left (10 ^ {- 12} \ right)} \ right] ^ {1/4} $$

$$ \ Flecha derecha R_ {Max} = 158 \: KM $$

Por lo tanto, los maximum range of Radar para especificaciones dadas es $ 158 \: KM $.

Problema 2

Calcula el maximum range of Radar para las siguientes especificaciones.

• Frecuencia de funcionamiento, $ f = 10GHZ $
• Pico de potencia transmitido por el radar, $ P_t = 400KW $
• Apertura efectiva de la antena receptora, $ A_e = 5 \: m ^ 2 $
• Sección transversal del radar del objetivo, $ \ sigma = 30 \: m ^ 2 $
• Potencia de la señal mínima detectable, $ S_ {min} = 10 ^ {- 10} W $

Solución

Conocemos la siguiente fórmula para operating wavelength, $ \ lambda $ en términos de frecuencia de operación, f.

$$ \ lambda = \ frac {C} {f} $$

Sustituye $ C = 3 \ times 10 ^ 8m / sec $ y $ f = 10GHZ $ en la ecuación anterior.

$$ \ lambda = \ frac {3 \ times 10 ^ 8} {10 \ times 10 ^ 9} $$

$$ \ Flecha derecha \ lambda = 0.03m $$

Entonces el operating wavelength, $ \ lambda $ es igual a $ 0.03m $, cuando la frecuencia de operación, $ f $ es $ 10GHZ $.

Podemos usar lo siguiente modified form de la ecuación de alcance del radar para calcular el alcance máximo del radar para especificaciones dadas.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {P_t \ sigma {A_e} ^ 2} {4 \ pi \ lambda ^ 2 S_ {min}} \ right] ^ {1/4} $$

Substitute, los parámetros dados en la ecuación anterior.

$$ R_ {Max} = \ left [\ frac {\ left (400 \ times 10 ^ 3 \ right) \ left (30 \ right) \ left (5 ^ 2 \ right)} {4 \ pi \ left (0,003 \ right) ^ 2 \ left (10 \ right) ^ {- 10}} \ right] ^ {1/4} $$

$$ \ Rightarrow R_ {Max} = 128KM $$

Por lo tanto, los maximum range of Radar para especificaciones dadas es $ 128 \: KM $.