Sistemas de radar: receptor de filtro combinado

Si un filtro produce una salida de tal manera que maximiza la relación entre la potencia máxima de salida y la potencia de ruido media en su respuesta de frecuencia, entonces ese filtro se llama Matched filter.

Este es un criterio importante, que se tiene en cuenta al diseñar cualquier receptor de radar. En este capítulo, analicemos la función de respuesta de frecuencia del filtro emparejado y la respuesta de impulso del filtro emparejado.

Función de respuesta de frecuencia del filtro emparejado

La respuesta de frecuencia del filtro Emparejado será proporcional al complejo conjugado del espectro de la señal de entrada. Matemáticamente, podemos escribir la expresión parafrequency response function, $ H \ left (f \ right) $ del filtro Coincidente como -

$$ H \ left (f \ right) = G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Ecuación \: 1 $$

Dónde,

$ G_a $ es la ganancia máxima del filtro coincidente

$ S \ left (f \ right) $ es la transformada de Fourier de la señal de entrada, $ s \ left (t \ right) $

$ S ^ \ ast \ left (f \ right) $ es el conjugado complejo de $ S \ left (f \ right) $

$ t_1 $ es el instante de tiempo en el que la señal observada es máxima

En general, el valor de $ G_a $ se considera uno. Obtendremos la siguiente ecuación sustituyendo $ G_a = 1 $ en la Ecuación 1.

$$ H \ left (f \ right) = S ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \: \: \: \: \: Ecuación \: 2 $$

La función de respuesta de frecuencia, $ H \ left (f \ right) $ del filtro emparejado tiene la magnitude de $ S ^ \ ast \ left (f \ right) $ y phase angle de $ e ^ {- j2 \ pi ft_1} $, que varía uniformemente con la frecuencia.

Respuesta de impulso del filtro emparejado

En time domain, obtendremos la salida, $ h (t) $ del receptor de filtro emparejado aplicando la transformada de Fourier inversa de la función de respuesta de frecuencia, $ H (f) $.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} df \: \: \: \: \ : Ecuación \: 3 $$

Substitute, Ecuación 1 en Ecuación 3.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ lbrace G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi ft_1} \ rbrace e ^ { j2 \ pi ft} df $$

$$ \ Rightarrow h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ ast \ left (f \ right) e ^ {- j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right)} df \: \: \: \: \: Ecuación \: 4 $$

Conocemos la siguiente relación.

$$ S ^ \ ast \ left (f \ right) = S \ left (-f \ right) \: \: \: \: \: Ecuación \: 5 $$

Substitute, Ecuación 5 en Ecuación 4.

$$ h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS (-f) e ^ {- j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right)} df $$

$$ \ Rightarrow h \ left (t \ right) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} G_aS ^ \ left (f \ right) e ^ {j2 \ pi f \ left (t_1-t \ right) } df $$

$$ \ Flecha derecha h \ left (t \ right) = G_as (t_1 − t) \: \: \: \: \: Ecuación \: 6 $$

En general, el valor de $ G_a $ se considera uno. Obtendremos la siguiente ecuación sustituyendo $ G_a = 1 $ en la Ecuación 6.

$$ h (t) = s \ left (t_1-t \ right) $$

La ecuación anterior demuestra que la impulse response of Matched filteres la imagen especular de la señal recibida en un instante de tiempo $ t_1 $. Las siguientes figuras ilustran este concepto.

Se muestran la señal recibida, $ s \ left (t \ right) $ y la respuesta al impulso, $ h \ left (t \ right) $ del filtro emparejado correspondiente a la señal, $ s \ left (t \ right) $ en las figuras anteriores.