Matemáticas discretas: reglas de inferencia

Para deducir nuevos enunciados de los enunciados cuya verdad que ya conocemos, Rules of Inference son usados.

¿Para qué sirven las reglas de inferencia?

La lógica matemática se usa a menudo para pruebas lógicas. Las pruebas son argumentos válidos que determinan los valores de verdad de los enunciados matemáticos.

Un argumento es una secuencia de declaraciones. El último enunciado es la conclusión y todos sus enunciados precedentes se denominan premisas (o hipótesis). El símbolo "$ \ por lo tanto $", (leer por tanto) se coloca antes de la conclusión. Un argumento válido es aquel en el que la conclusión se deriva de los valores de verdad de las premisas.

Las reglas de inferencia proporcionan las plantillas o pautas para construir argumentos válidos a partir de las declaraciones que ya tenemos.

Tabla de reglas de inferencia

Regla de inferencia	Nombre	Regla de inferencia	Nombre
$$ \ begin {matriz} P \\ \ hline \ por lo tanto P \ lor Q \ end {matriz} $$	Adición	$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \, por lo tanto Q \ end {matrix} $$	Silogismo disyuntivo
$$ \ begin {matriz} P \\ Q \\ \ hline \ por lo tanto P \ land Q \ end {matriz} $$	Conjunción	$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ por lo tanto P \ rightarrow R \ end {matriz} $$	Silogismo hipotético
$$ \ begin {matriz} P \ land Q \\ \ hline \ por lo tanto P \ end {matriz} $$	Simplificación	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ por lo tanto Q \ lor S \ end {matrix} $$	Dilema constructivo
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ por lo tanto Q \ end {matrix} $$	Modus ponens	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ then \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	Dilema destructivo
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ por lo tanto \ lnot P \ end {matrix} $$	Modus Tollens

Adición

Si P es una premisa, podemos usar la regla de la suma para derivar $ P \ l o Q $.

$$ \ begin {matriz} P \\ \ hline \ por lo tanto P \ lor Q \ end {matriz} $$

Ejemplo

Sea P la proposición, "Él estudia mucho" es verdad

Por lo tanto - "O estudia mucho o es un muy mal estudiante". Aquí Q es la proposición "es un muy mal estudiante".

Conjunción

Si P y Q son dos premisas, podemos usar la regla de conjunción para derivar $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matriz} P \\ Q \\ \ hline \ por lo tanto P \ land Q \ end {matriz} $$

Ejemplo

Deje P - "Él estudia mucho"

Deje Q: "Es el mejor chico de la clase"

Por lo tanto: "Estudia mucho y es el mejor chico de la clase".

Simplificación

Si $ P \ land Q $ es una premisa, podemos usar la regla de simplificación para derivar P.

$$ \ begin {matriz} P \ land Q \\ \ hline \ por lo tanto P \ end {matriz} $$

Ejemplo

"Estudia mucho y es el mejor chico de la clase", $ P \ land Q $

Por lo tanto - "Él estudia mucho"

Modus ponens

Si P y $ P \ rightarrow Q $ son dos premisas, podemos usar Modus Ponens para derivar Q.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ por lo tanto Q \ end {matrix} $$

Ejemplo

"Si tiene una contraseña, puede iniciar sesión en Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Tienes una contraseña", P

Por lo tanto - "Puede iniciar sesión en Facebook"

Modus Tollens

Si $ P \ rightarrow Q $ y $ \ lnot Q $ son dos premisas, podemos usar Modus Tollens para derivar $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ por lo tanto \ lnot P \ end {matrix} $$

Ejemplo

"Si tiene una contraseña, puede iniciar sesión en Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"No puede iniciar sesión en Facebook", $ \ lno Q $

Por lo tanto: "No tiene contraseña".

Silogismo disyuntivo

Si $ \ lnot P $ y $ P \ lor Q $ son dos premisas, podemos usar el silogismo disyuntivo para derivar Q.

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ por lo tanto Q \ end {matrix} $$

Ejemplo

"El helado no tiene sabor a vainilla", $ \ lno P $

"El helado tiene sabor a vainilla o chocolate", $ P \ lor Q $

Por lo tanto: "El helado tiene sabor a chocolate"

Silogismo hipotético

Si $ P \ rightarrow Q $ y $ Q \ rightarrow R $ son dos premisas, podemos usar el silogismo hipotético para derivar $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ por lo tanto P \ rightarrow R \ end {matriz} $$

Ejemplo

"Si llueve, no iré a la escuela", $ P \ rightarrow Q $

"Si no voy a la escuela, no tendré que hacer la tarea", $ Q \ rightarrow R $

Por lo tanto: "Si llueve, no tendré que hacer la tarea".

Dilema constructivo

Si $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ y $ P \ lor R $ son dos premisas, podemos usar el dilema constructivo para derivar $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ por lo tanto Q \ lor S \ end {matrix} $$

Ejemplo

"Si llueve, me iré", $ (P \ rightarrow Q) $

"Si hace calor afuera, me daré una ducha", $ (R \ rightarrow S) $

"O llueve o hace calor afuera", $ P \ lor R $

Por lo tanto: "Me despediré o me daré una ducha".

Dilema destructivo

Si $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ y $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ son dos premisas, podemos usar un dilema destructivo para derivar $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ then \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

Ejemplo

"Si llueve, me iré", $ (P \ rightarrow Q) $

"Si hace calor afuera, me daré una ducha", $ (R \ rightarrow S) $

"O no me voy a ir o no me voy a dar una ducha", $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

Por lo tanto - "O no llueve o no hace calor afuera"