Matemáticas discretas: funciones
UNA Functionasigna a cada elemento de un conjunto, exactamente un elemento de un conjunto relacionado. Las funciones encuentran su aplicación en varios campos como la representación de la complejidad computacional de algoritmos, el conteo de objetos, el estudio de secuencias y cadenas, por nombrar algunos. El tercer y último capítulo de esta parte destaca los aspectos importantes de las funciones.
Función - Definición
Una función o mapeo (Definido como $ f: X \ rightarrow Y $) es una relación de elementos de un conjunto X a elementos de otro conjunto Y (X e Y son conjuntos no vacíos). X se llama dominio e Y se llama codominio de función 'f'.
La función 'f' es una relación en X e Y tal que para cada $ x \ en X $, existe un $ y \ en Y $ único tal que $ (x, y) \ en R $. 'x' se llama pre-imagen y 'y' se llama imagen de la función f.
Una función puede ser una a una o muchas a una, pero no una a muchas.
Función inyectiva / uno a uno
Una función $ f: A \ rightarrow B $ es una función inyectiva o uno a uno si por cada $ b \ en B $, existe como máximo un $ a \ en A $ tal que $ f (s) = t $ .
Esto significa una función f es inyectiva si $ a_1 \ ne a_2 $ implica $ f (a1) \ ne f (a2) $.
Ejemplo
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ es inyectivo.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ es inyectivo.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ no es inyectivo como $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $
Función sobreyectiva / sobre
Una función $ f: A \ rightarrow B $ es sobreyectiva (sobre) si la imagen de f es igual a su rango. De manera equivalente, por cada $ b \ en B $, existen algunos $ a \ en A $ tales que $ f (a) = b $. Esto significa que para cualquier y en B, existe una x en A tal que $ y = f (x) $.
Ejemplo
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ es sobreyectiva.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ no es sobreyectiva ya que no podemos encontrar un número real cuyo cuadrado sea negativo.
Corresponsal Bijective / One-to-one
Una función $ f: A \ rightarrow B $ es biyectiva o corresponsal uno a uno si y solo si f es tanto inyectiva como sobreyectiva.
Problema
Demuestre que una función $ f: R \ rightarrow R $ definida por $ f (x) = 2x - 3 $ es una función biyectiva.
Explanation - Tenemos que demostrar que esta función es tanto inyectiva como sobreyectiva.
Si $ f (x_1) = f (x_2) $, entonces $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ e implica que $ x_1 = x_2 $.
Por tanto, f es injective.
Aquí, $ 2x - 3 = y $
Entonces, $ x = (y + 5) / 3 $ que pertenece a R y $ f (x) = y $.
Por tanto, f es surjective.
Ya que f es ambos surjective y injective, podemos decir f es bijective.
Inversa de una función
los inverse de una función correspondiente uno a uno $ f: A \ rightarrow B $, es la función $ g: B \ rightarrow A $, que tiene la siguiente propiedad -
$ f (x) = y \ Flecha izquierda g (y) = x $
La función f se llama invertible, si existe su función inversa g.
Ejemplo
Una función $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, es invertible ya que tiene la función inversa $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
Una función $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ no es invertible ya que no es uno a uno como $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.
Composición de funciones
Se pueden componer dos funciones $ f: A \ rightarrow B $ y $ g: B \ rightarrow C $ para dar una composición $ gof $. Esta es una función de A a C definida por $ (gof) (x) = g (f (x)) $
Ejemplo
Sea $ f (x) = x + 2 $ y $ g (x) = 2x + 1 $, encuentre $ (niebla) (x) $ y $ (gof) (x) $.
Solución
$ (niebla) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $
$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $
Por lo tanto, $ (niebla) (x) \ neq (gof) (x) $
Algunos hechos sobre la composición
Si f y g son uno a uno, entonces la función $ (gof) $ también es uno a uno.
Si fyg están en, entonces la función $ (gof) $ también está en.
La composición siempre tiene propiedad asociativa pero no tiene propiedad conmutativa.