Operadores y postulados

La teoría de grupos es una rama de las matemáticas y el álgebra abstracta que define una estructura algebraica denominada group. Generalmente, un grupo comprende un conjunto de elementos y una operación sobre dos elementos cualesquiera en ese conjunto para formar un tercer elemento también en ese conjunto.

En 1854, Arthur Cayley, el matemático británico, dio la definición moderna de grupo por primera vez:

“Un conjunto de símbolos todos ellos diferentes, y tal que el producto de dos de ellos (sin importar en qué orden), o el producto de cualquiera de ellos en sí mismo, pertenece al conjunto, se dice que es un grupo . Estos símbolos no son en general convertibles [conmutativos], sino asociativos ".

En este capítulo, conoceremos operators and postulates que forman los fundamentos de la teoría de conjuntos, la teoría de grupos y el álgebra booleana.

Cualquier conjunto de elementos de un sistema matemático puede definirse con un conjunto de operadores y una serie de postulados.

UN binary operatordefinido en un conjunto de elementos es una regla que asigna a cada par de elementos un elemento único de ese conjunto. Por ejemplo, dado el conjunto $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, podemos decir que $ \ otimes $ es un operador binario para la operación $ c = a \ otimes b $, si especifica una regla para encontrar c para el par de $ (a, b) $, tal que $ a, b, c \ en A $.

los postulatesde un sistema matemático forman los supuestos básicos de los que se pueden deducir reglas. Los postulados son:

Cierre

Un conjunto se cierra con respecto a un operador binario si para cada par de elementos del conjunto, el operador encuentra un elemento único de ese conjunto.

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Este conjunto se cierra bajo el operador binario en $ (\ ast) $, porque para la operación $ c = a \ ast b $, para cualquier $ a, b \ en A $, el producto $ c \ en A $.

El conjunto no está cerrado bajo el operador binario divide $ (\ div) $, porque, para la operación $ c = a \ div b $, para cualquier $ a, b \ en A $, el producto c puede no estar en el conjunto A. Si $ a = 7, b = 2 $, entonces $ c = 3.5 $. Aquí $ a, b \ en A $ pero $ c \ no en A $.

Leyes asociativas

Un operador binario $ \ otimes $ en un conjunto A es asociativo cuando tiene la siguiente propiedad:

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, donde $ x, y, z \ en A $

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

El operador más $ (+) $ es asociativo porque para cualesquiera tres elementos, $ x, y, z \ en A $, se cumple la propiedad $ (x + y) + z = x + (y + z) $.

El operador menos $ (-) $ no es asociativo ya que

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Leyes conmutativas

Un operador binario $ \ otimes $ en un conjunto A es conmutativo cuando tiene la siguiente propiedad:

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, donde $ x, y \ en A $

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

El operador más $ (+) $ es conmutativo porque para dos elementos cualesquiera, $ x, y \ en A $, se cumple la propiedad $ x + y = y + x $.

El operador menos $ (-) $ no es asociativo ya que

$$ x - y \ ne y - x $$

Leyes distributivas

Dos operadores binarios $ \ otimes $ y $ \ circledast $ en un conjunto A, son distributivos sobre el operador $ \ circledast $ cuando se cumple la siguiente propiedad:

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, donde $ x, y, z \ en A $

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Los operadores en $ (*) $ y más $ (+) $ son distributivos sobre el operador + porque para cualesquiera tres elementos, $ x, y, z \ en A $, la propiedad $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ se mantiene.

Sin embargo, estos operadores no son distributivos sobre $ * $ ya que

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Elemento de identidad

Un conjunto A tiene un elemento de identidad con respecto a una operación binaria $ \ otimes $ en A, si existe un elemento $ e \ en A $, de modo que se cumple la siguiente propiedad:

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, donde $ x \ en A $

Ejemplo

Sea $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

El elemento 1 es un elemento de identidad con respecto a la operación $ * $ ya que para cualquier elemento $ x \ en Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

Por otro lado, no existe un elemento de identidad para la operación menos $ (-) $

Inverso

Si un conjunto A tiene un elemento de identidad $ e $ con respecto a un operador binario $ \ otimes $, se dice que tiene un inverso siempre que para cada elemento $ x \ en A $, existe otro elemento $ y \ en A $ , de modo que se mantenga la siguiente propiedad:

$$ x \ a veces y = e $$

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Dada la operación más $ (+) $ y $ e = 0 $, el inverso de cualquier elemento x es $ (- x) $ ya que $ x + (x) = 0 $

Ley de De Morgan

Las leyes de De Morgan dan un par de transformaciones entre la unión y la intersección de dos (o más) conjuntos en términos de sus complementos. Las leyes son ...

$$ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$$

$$ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$$

Ejemplo

Sea $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace $, y

Conjunto universal $ U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace $

$ A '= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ B '= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace $

$ A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $

$ (A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

Por lo tanto, vemos que $ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$

$ (A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

Por lo tanto, vemos que $ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$