Matemáticas discretas: probabilidad
Muy relacionado con los conceptos de contar está la probabilidad. A menudo tratamos de adivinar los resultados de los juegos de azar, como juegos de cartas, máquinas tragamonedas y loterías; es decir, tratamos de encontrar la probabilidad de que se obtenga un resultado particular.
Probabilitypuede conceptualizarse como encontrar la posibilidad de que ocurra un evento. Matemáticamente, es el estudio de procesos aleatorios y sus resultados. Las leyes de la probabilidad tienen una amplia aplicabilidad en una variedad de campos como la genética, el pronóstico del tiempo, las encuestas de opinión, los mercados de valores, etc.
Conceptos básicos
La teoría de la probabilidad fue inventada en el siglo XVII por dos matemáticos franceses, Blaise Pascal y Pierre de Fermat, que se ocupaban de problemas matemáticos relacionados con el azar.
Antes de pasar a los detalles de la probabilidad, obtengamos el concepto de algunas definiciones.
Random Experiment- Un experimento en el que se conocen todos los resultados posibles y el resultado exacto no se puede predecir de antemano se denomina experimento aleatorio. Lanzar una moneda justa es un ejemplo de experimento aleatorio.
Sample Space- Cuando realizamos un experimento, entonces el conjunto S de todos los resultados posibles se denomina espacio muestral. Si lanzamos una moneda, el espacio muestral $ S = \ left \ {H, T \ right \} $
Event- Cualquier subconjunto de un espacio muestral se denomina evento. Después de lanzar una moneda, conseguir que la Cabeza llegue a la cima es un evento.
La palabra "probabilidad" significa la posibilidad de que ocurra un evento en particular. Lo mejor que podemos decir es la probabilidad de que ocurran, usando la idea de probabilidad.
$ Probabilidad \: de \: ocurrencia \: de \: un \: evento = \ frac {Número \: total \: de \: resultado \: favorable \: resultado} {Número \: total \: de \: Resultados} $
Como la ocurrencia de cualquier evento varía entre 0% y 100%, la probabilidad varía entre 0 y 1.
Pasos para encontrar la probabilidad
Paso 1: calcula todos los resultados posibles del experimento.
Paso 2: calcula el número de resultados favorables del experimento.
Paso 3: aplique la fórmula de probabilidad correspondiente.
Tirando una moneda
Si se lanza una moneda, hay dos resultados posibles: Cara $ (H) $ o Cruz $ (T) $
Entonces, número total de resultados = 2
Por lo tanto, la probabilidad de obtener una Cara $ (H) $ en la parte superior es 1/2 y la probabilidad de obtener una Colas $ (T) $ en la parte superior es 1/2
Lanzar un dado
Cuando se lanza un dado, pueden aparecer seis posibles resultados en la parte superior: $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.
La probabilidad de cualquiera de los números es 1/6
La probabilidad de obtener números pares es 3/6 = 1/2
La probabilidad de obtener números impares es 3/6 = 1/2
Sacar cartas de una baraja
De una baraja de 52 cartas, si se elige una, calcule la probabilidad de que se saque un as y también la probabilidad de que se saque un diamante.
Número total de resultados posibles: 52
Resultados de ser un as - 4
Probabilidad de ser un as = 4/52 = 1/13
Probabilidad de ser un diamante = 13/52 = 1/4
Axiomas de probabilidad
La probabilidad de un evento siempre varía de 0 a 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
Para un evento imposible, la probabilidad es 0 y para cierto evento la probabilidad es 1.
Si la ocurrencia de un evento no está influenciada por otro evento, se denominan mutuamente excluyentes o disjuntos.
Si $ A_1, A_2 .... A_n $ son eventos mutuamente excluyentes / disjuntos, entonces $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ para $ i \ ne j $ y $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $
Propiedades de la probabilidad
Si hay dos eventos $ x $ y $ \ overline {x} $ que son complementarios, entonces la probabilidad del evento complementario es -
$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Para dos eventos A y B no disjuntos, la probabilidad de la unión de dos eventos -
$ P (A \ taza B) = P (A) + P (B) $
Si un evento A es un subconjunto de otro evento B (es decir, $ A \ subconjunto B $), entonces la probabilidad de A es menor o igual que la probabilidad de B. Por lo tanto, $ A \ subconjunto B $ implica $ P (A ) \ leq p (B) $
La probabilidad condicional
La probabilidad condicional de un evento B es la probabilidad de que el evento ocurra dado que un evento A ya ha ocurrido. Esto se escribe como $ P (B | A) $.
Matemáticamente - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $
Si el evento A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad condicional del evento B después del evento A será la probabilidad del evento B que es $ P (B) $.
Problem 1
En un país, el 50% de todos los adolescentes tienen una bicicleta y el 30% de todos los adolescentes tienen una bicicleta y una bicicleta. ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente sea dueño de una bicicleta dado que el adolescente tiene una bicicleta?
Solution
Supongamos que A es el caso de los adolescentes que solo tienen una bicicleta y B es el caso de que los adolescentes solo tienen una bicicleta.
Entonces, $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ y $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0.3 $ del problema dado.
$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0.3 / 0.5 = 0.6 $
Por lo tanto, la probabilidad de que un adolescente sea dueño de una bicicleta dado que el adolescente posee una bicicleta es del 60%.
Problem 2
En una clase, el 50% de todos los estudiantes juegan al cricket y el 25% de todos los estudiantes juegan al cricket y al voleibol. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante juegue voleibol dado que el estudiante juega al cricket?
Solution
Supongamos que A es el evento de estudiantes que juegan solo críquet y B es el evento de estudiantes que juegan solo voleibol.
Entonces, $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ y $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0.25 $ del problema dado.
$ P \ lgrupo B \ rvert A \ rgrupo = P \ lgrupo A \ cap B \ rgrupo / P \ lgrupo A \ rgrupo = 0,25 / 0,5 = 0,5 $
Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante juegue voleibol dado que el estudiante juega al cricket es del 50%.
Problem 3
Se mezclan seis computadoras portátiles buenas y tres defectuosas. Para encontrar las computadoras portátiles defectuosas, todas se prueban uno por uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar las dos computadoras portátiles defectuosas en las dos primeras selecciones?
Solution
Sea A el evento de que encontremos una computadora portátil defectuosa en la primera prueba y B sea el evento de que encontremos una computadora portátil defectuosa en la segunda prueba.
Por lo tanto, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $
Teorema de Bayes
Theorem- Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, donde $ P (A) $ es la probabilidad de A y $ P (B) $ es la probabilidad de B, $ P (A | B) $ es la probabilidad de A dado que B es cierto. $ P (B | A) $ es la probabilidad de B dado que A es verdadera, entonces el teorema de Bayes establece:
$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$
Aplicación del teorema de Bayes
En situaciones en las que todos los eventos del espacio muestral son eventos mutuamente excluyentes.
En situaciones donde se conoce $ P (A_i \ cap B) $ por cada $ A_i $ o $ P (A_i) $ y $ P (B | A_i) $ por cada $ A_i $.
Problem
Considere tres soportes para bolígrafos. El primer portalápices contiene 2 bolígrafos rojos y 3 bolígrafos azules; el segundo tiene 3 bolígrafos rojos y 2 bolígrafos azules; y el tercero tiene 4 bolígrafos rojos y 1 bolígrafo azul. Existe la misma probabilidad de que se seleccione cada portalápices. Si se saca un bolígrafo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo?
Solution
Sea $ A_i $ el evento de que se seleccione el i- ésimo portalápices.
Aquí, i = 1,2,3.
Dado que la probabilidad de elegir un portalápices es igual, $ P (A_i) = 1/3 $
Sea B el evento de que se dibuje una pluma roja.
La probabilidad de que se elija un bolígrafo rojo entre los cinco bolígrafos del primer portalápices,
$ P (B | A_1) = 2/5 $
La probabilidad de que se elija un bolígrafo rojo entre los cinco bolígrafos del segundo portalápices,
$ P (B | A_2) = 3/5 $
La probabilidad de que se elija un bolígrafo rojo entre los cinco bolígrafos del tercer portalápices,
$ P (B | A_3) = 4/5 $
Según el teorema de Bayes,
$ P (B) = P (A_1) .P (B | A_1) + P (A_2) .P (B | A_2) + P (A_3) .P (B | A_3) $
$ = 1/3. 2/5 \: + \: 1/3. 3/5 \: + \: 1/3. 4/5 $
$ = 3/5 $