MATLAB - Cálculo

MATLAB proporciona varias formas de resolver problemas de cálculo diferencial e integral, resolver ecuaciones diferenciales de cualquier grado y cálculo de límites. Lo mejor de todo es que puede trazar fácilmente los gráficos de funciones complejas y verificar máximos, mínimos y otros puntos de papelería en un gráfico resolviendo la función original, así como su derivada.

Este capítulo se ocupará de los problemas de cálculo. En este capítulo, discutiremos conceptos previos al cálculo, es decir, calcular límites de funciones y verificar las propiedades de los límites.

En el próximo capítulo Diferencial , calcularemos la derivada de una expresión y encontraremos los máximos y mínimos locales en una gráfica. También discutiremos la resolución de ecuaciones diferenciales.

Finalmente, en el capítulo Integración , discutiremos el cálculo integral.

Calcular límites

MATLAB proporciona limitfunción para calcular límites. En su forma más básica, ellimit La función toma la expresión como argumento y encuentra el límite de la expresión cuando la variable independiente llega a cero.

Por ejemplo, calculemos el límite de una función f (x) = (x 3 + 5) / (x 4 + 7), ya que x tiende a cero.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB ejecutará la declaración anterior y devolverá el siguiente resultado:

ans =
   5/7

La función límite cae en el ámbito de la computación simbólica; necesitas usar elsymsfunción para decirle a MATLAB qué variables simbólicas está utilizando. También puede calcular el límite de una función, ya que la variable tiende a algún número distinto de cero. Para calcular lim x-> a (f (x)), usamos el comando limit con argumentos. El primero es la expresión y el segundo es el número, al que x se acerca, aquí es a .

Por ejemplo, calculemos el límite de una función f (x) = (x-3) / (x-1), ya que x tiende a 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB ejecutará la declaración anterior y devolverá el siguiente resultado:

ans =
   NaN

Tomemos otro ejemplo,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB ejecutará la declaración anterior y devolverá el siguiente resultado:

ans =
   14

Calcular límites usando una octava

A continuación se muestra la versión Octave del ejemplo anterior usando symbolic paquete, intente ejecutar y comparar el resultado -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave ejecutará la declaración anterior y devolverá el siguiente resultado:

ans =
   0.7142857142857142857

Verificación de las propiedades básicas de los límites

El teorema algebraico del límite proporciona algunas propiedades básicas de los límites. Estos son los siguientes:

Consideremos dos funciones:

  • f (x) = (3x + 5) / (x - 3)
  • g (x) = x 2 + 1.

Calculemos los límites de las funciones cuando x tiende a 5, de ambas funciones y verifiquemos las propiedades básicas de los límites usando estas dos funciones y MATLAB.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código en él:

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Cuando ejecuta el archivo, muestra:

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verificación de las propiedades básicas de los límites usando Octave

A continuación se muestra la versión Octave del ejemplo anterior usando symbolic paquete, intente ejecutar y comparar el resultado -

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave ejecutará la declaración anterior y devolverá el siguiente resultado:

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Límites de los lados izquierdo y derecho

Cuando una función tiene una discontinuidad para algún valor particular de la variable, el límite no existe en ese punto. En otras palabras, los límites de una función f (x) tiene discontinuidad en x = a, cuando el valor del límite, cuando x se acerca a x desde el lado izquierdo, no es igual al valor del límite cuando x se acerca desde el lado derecho.

Esto lleva al concepto de límites para diestros y zurdos. Un límite a la izquierda se define como el límite cuando x -> a, desde la izquierda, es decir, x se acerca a a, para valores de x <a. Un límite a la derecha se define como el límite cuando x -> a, desde la derecha, es decir, x se acerca a a, para valores de x> a. Cuando el límite para zurdos y el límite para diestros no son iguales, el límite no existe.

Consideremos una función -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Demostraremos que lim x-> 3 f (x) no existe. MATLAB nos ayuda a establecer este hecho de dos formas:

  • Trazando la gráfica de la función y mostrando la discontinuidad.
  • Calculando los límites y mostrando que ambos son diferentes.

Los límites para zurdos y diestros se calculan pasando las cadenas de caracteres 'izquierda' y 'derecha' al comando de límite como último argumento.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código en él:

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Cuando ejecuta el archivo, MATLAB dibuja la siguiente gráfica

Después de que se muestre la siguiente salida:

l =
   -1
  
r =
   1