DAA - Combinar ordenación
En este capítulo, discutiremos la ordenación por fusión y analizaremos su complejidad.
Planteamiento del problema
El problema de ordenar una lista de números se presta inmediatamente a una estrategia de dividir y vencer: dividir la lista en dos mitades, ordenar recursivamente cada mitad y luego fusionar las dos sublistas ordenadas.
Solución
En este algoritmo, los números se almacenan en una matriz. numbers[]. Aquí,p y q representa el índice inicial y final de una submatriz.
Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r)
if p < r then
q = ⌊(p + r) / 2⌋
Merge-Sort (numbers[], p, q)
Merge-Sort (numbers[], q + 1, r)
Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1
n2 = r – q
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays
for i = 1 to n1
leftnums[i] = numbers[p + i - 1]
for j = 1 to n2
rightnums[j] = numbers[q+ j]
leftnums[n1 + 1] = ∞
rightnums[n2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
if leftnums[i] ≤ rightnums[j]
numbers[k] = leftnums[i]
i = i + 1
else
numbers[k] = rightnums[j]
j = j + 1
Análisis
Consideremos, el tiempo de ejecución de Merge-Sort como T(n). Por lo tanto,
$ T (n) = \ begin {cases} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & de lo contrario \ end {casos} $, donde c y d son constantes
Por lo tanto, usando esta relación de recurrencia,
$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$
Como, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $
$ = \: cn + dnlog \: n $
Por lo tanto, $ T (n) = O (n \: log \: n) $
Ejemplo
En el siguiente ejemplo, mostramos el algoritmo Merge-Sort paso a paso. Primero, cada matriz de iteración se divide en dos submatrices, hasta que la submatriz contiene solo un elemento. Cuando estas submatrices no se pueden dividir más, se realizan operaciones de combinación.