DAA - Combinar ordenación

En este capítulo, discutiremos la ordenación por fusión y analizaremos su complejidad.

Planteamiento del problema

El problema de ordenar una lista de números se presta inmediatamente a una estrategia de dividir y vencer: dividir la lista en dos mitades, ordenar recursivamente cada mitad y luego fusionar las dos sublistas ordenadas.

Solución

En este algoritmo, los números se almacenan en una matriz. numbers[]. Aquí,p y q representa el índice inicial y final de una submatriz.

Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r) 
if p < r then  
q = ⌊(p + r) / 2⌋ 
Merge-Sort (numbers[], p, q) 
    Merge-Sort (numbers[], q + 1, r) 
    Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n1 = q – p + 1 
n2 = r – q 
declare leftnums[1…n1 + 1] and rightnums[1…n2 + 1] temporary arrays 
for i = 1 to n1 
   leftnums[i] = numbers[p + i - 1] 
for j = 1 to n2 
   rightnums[j] = numbers[q+ j] 
leftnums[n1 + 1] = ∞ 
rightnums[n2 + 1] = ∞ 
i = 1 
j = 1 
for k = p to r 
   if leftnums[i] ≤ rightnums[j] 
      numbers[k] = leftnums[i] 
      i = i + 1 
   else
      numbers[k] = rightnums[j] 
      j = j + 1

Análisis

Consideremos, el tiempo de ejecución de Merge-Sort como T(n). Por lo tanto,

$ T (n) = \ begin {cases} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & de lo contrario \ end {casos} $, donde c y d son constantes

Por lo tanto, usando esta relación de recurrencia,

$$ T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn $$

Como, $ i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn $

$ = \: cn + dnlog \: n $

Por lo tanto, $ T (n) = O (n \: log \: n) $

Ejemplo

En el siguiente ejemplo, mostramos el algoritmo Merge-Sort paso a paso. Primero, cada matriz de iteración se divide en dos submatrices, hasta que la submatriz contiene solo un elemento. Cuando estas submatrices no se pueden dividir más, se realizan operaciones de combinación.