language agnostic - ¿Qué se simplifica a! A &&(a || b)?

language-agnostic boolean-logic

Question

Estoy un poco confundido sobre !a&&(a||b) . Si lo miro directamente e interpreto simplemente, parece como si fuera lo mismo que

!a&&a or !a&&b

pero esto parece un poco extraño porque como a no puede ser verdadero y falso, solo sería verdad si el último fuera verdad. También lo interpreté así

!a || a&&b

Realmente no sé cómo se me ocurrió esto, pero parece más lógico ya que no hay contradicciones. ¿Alguien puede ayudarme en esto por favor?

Answer 1

Tabla de tautología

 | a | b | !a | a || b | !a && (a || b) | !a && b | [ !a && (a || b) ] <=> [!a && b] |
|---|---|----|--------|------------------|---------|-------------------------------------|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |

"Prueba"

1. De acuerdo con la declaración del Principio de Distributividad !a && (a || b) es equivalente a (!a && a) || (!a && b) (!a && a) || (!a && b) .
2. Acordeón a la Ley de no contradicción (!a && a) es equivalente a false

3. Poniendolo todo junto:

   !a && (a || b) <=> (!a && a) || (!a && b) <=> false || (!a && b) <=> !a && b

Answer 2

Parece que se simplificará solo

!a && b

Si abre el paréntesis, tendrá

(!a && a) || (!a && b)

La primera parte (! A && a) siempre es falsa, así que puedes omitirla.

Answer 3

Puede simplificarlo así (!a && b) porque en la expresión (!a && a || !a && b) la condición !a && a es siempre falsa

Answer 4

Simplemente significa !a && b , a debe ser falso yb debe ser verdadero, para que sea cierto

Answer 5

Supongo que el "o" es de menor prioridad (normalmente la lógica booleana && o || son iguales y, como tal, esto habría sido ambiguo

 !a&&a or !a&&b
= (!a&&a) || (!a && b)
= false || (!a && b)
// because X and not X will never be true for any combination of X
= (!a && b)
// because false || X == X for any value of X
= !a && b
// removed parens

Answer 6

Te recomiendo que uses Wolfram alpha para simplificaciones como estas, puede ser sorprendente lo que puede hacer con tus expresiones a veces. Esta expresión particular se simplifica a !a && b

Enlace a WA: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%21a%26%26%28a%7C%7Cb%29

Answer 7

!a && (a || b) se puede considerar con una tabla de verdad binaria

a b out
true true false
false true true
false false false
true false false

Entonces la única circunstancia que pasa es

 (!a && b)

y podríamos aplicar las leyes de DeMorgan a eso y obtener

 !(a || !b)

Answer 8

(!a && a) || (!a && b) (!a && a) || (!a && b) es una expansión correcta de esto (usando la ley distributiva).

Esto se puede simplificar a !a && b .

Las leyes distributivas para el álgebra de Boole son:

a && (b || c) == (a && b) || (a && c)
a || (b && c) == (a || b) && (a || c)

Answer 9

En Java, como en la mayoría de los ¹ idiomas, ¡el unario ! tiene una precedencia mayor que && .

Entonces !a&&(a||b) es (!a)&&(a||b)

Puedes representar la tabla de verdad de esa expresión usando un mapa de Karnaugh :

 | a = 0 | a = 1 |
------+-------+-------+
b = 0 | 0 | 0 |
------+-------+-------+
b = 1 | 1 | 0 |
------+-------+-------+

Ahora, se puede ver fácilmente que el único caso verdadero es cuando (!a) && b .

Así que !a&&(a||b) es !a && b

¹ _{Ver comentarios a continuación.}