loops - que - iteraciones anidadas

Un rompecabezas relacionado con bucles anidados

Question

Para una entrada N dada, ¿cuántas veces se ejecuta la instrucción adjunta?

for i in 1 … N loop
for j in 1 … i loop
for k in 1 … j loop
sum = sum + i ;
end loop;
end loop;
end loop;

¿Alguien puede encontrar una manera fácil o una fórmula para hacer esto en general? Por favor explique.

Answer 1

• Primero, escribí un código C para generar suma:

int main(){
int i =0, k =0, j =0, n =0;
int N =0;
int sum =0;
N =10;
for (n=1; n <= N; n++){
// unindented code here
sum =0;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=i; j++)
for (k=1; k<=j; k++)
sum++;
printf("/n N=%d sum = %d",n, sum);
}
printf("/n");
}

• Compilación simple y resultado de generación para N=1 to N=10 :

$ gcc sum.c
$ ./a.out

 N=1 sum = 1
N=2 sum = 4
N=3 sum = 10
N=4 sum = 20
N=5 sum = 35
N=6 sum = 56
N=7 sum = 84
N=8 sum = 120
N=9 sum = 165
N=10 sum = 220

• Entonces, Intenté explorar How this works? con algunos diagramas:

  Para, N=1 :

i<=N, (i=1)
|
j<=i, (j=1)
|
k<=j, (K=1)
|
sum=0. sum++ ---> sum = 1

Eso es (1) = 1

Para, N=2 :

i<=N, (i=1)-------(i=2)
| |-----|-----|
j<=i, (j=1) (j=1) (j=2)
| | |----|----|
k<=j, (K=1) (K=1) (K=1) (K=2)
| | | |
sum=0, sum++ sum++ sum++ sum++ --> sum = 4

Eso es (1) + (1 + 2) = 4

Para, N=3 :

i<=N, (i=1)-------(i=2)--------------------(i=3)
| |-----|-----| |---------|-------------|
j<=i, (j=1) (j=1) (j=2) (j=1) (j=2) (j=3)
| | |----|----| | |----|----| |-----|-----|
k<=j, (K=1) (K=1) (K=1) (K=2) (K=1) (K=1) (K=2) (K=1) (K=2) (K=3)
| | | | | | | | | |
sum=0, sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++
--> sum = 10

Eso es (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10

N = 1, (1) = 1
N = 2, (1) + (1 + 2) = 4
N = 3, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10
N = 4, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 20
N = 5, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 35

Finalmente, pude entender que la suma de N en tres ciclos es:

(1) + (suma de 0f 1 a 2) + ... + (suma de 1 a (N-2)) + (suma de 1 a (N-1)) + (suma de 1 a N)

o podemos escribirlo como:

=> (1) + (1 + 2) + ... + (1 + 2 + .... + i) + ... + (1 + 2 + .... + N-1) + (1 + 2 + .... + N)

=> (N * 1) + ((N-1) * 2) + ((N-2) * 3) + ... + ((N -i + 1) * i) + ... + (1 * N)

Puede consultar aquí para los cálculos de simplificación: (pregunté AQUÍ )

[ SU RESPUESTA ]

= ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

Y, creo que es correcto. Lo revisé de la siguiente manera:

N = 1, (1 * 2 * 3)/6 = 1
N = 2, (2 * 3 * 4)/6 = 4
N = 3, (3 * 4 * 5)/6 = 6
N = 4, (4 * 5 * 6)/6 = 10
N = 5, (5 * 6 * 7)/6 = 35

Además, la complejidad de este algoritmo es O (n ³ )

EDITAR :

El siguiente ciclo también tiene los mismos números de conteo, es decir = ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

for i in 1 … N loop
for j in i … N loop
for k in j … N loop
sum = sum + i ;
end loop;
end loop;
end loop;