loops - que - iteraciones anidadas

Un rompecabezas relacionado con bucles anidados

Question

Para una entrada N dada, ¿cuántas veces se ejecuta la instrucción adjunta?

for i in 1 … N loop
  for j in 1 … i loop
    for k in 1 … j loop
      sum = sum + i ;
    end loop;
  end loop;
end loop;

¿Alguien puede encontrar una manera fácil o una fórmula para hacer esto en general? Por favor explique.

Answer 1

• Primero, escribí un código C para generar suma:

int main(){
  int i =0, k =0, j =0, n =0;
  int N =0; 
  int sum =0;
  N =10;
  for (n=1; n <= N; n++){
  // unindented code here
  sum =0;
  for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=i; j++)
          for (k=1; k<=j; k++)
              sum++;

  printf("/n N=%d  sum = %d",n, sum); 
  }
  printf("/n");
}

• Compilación simple y resultado de generación para N=1 to N=10 :

$ gcc sum.c
$ ./a.out

 N=1  sum = 1
 N=2  sum = 4
 N=3  sum = 10
 N=4  sum = 20
 N=5  sum = 35
 N=6  sum = 56
 N=7  sum = 84
 N=8  sum = 120
 N=9  sum = 165
 N=10  sum = 220

• Entonces, Intenté explorar How this works? con algunos diagramas:

  Para, N=1 :

i<=N,     (i=1)       
            |
j<=i,     (j=1)       
            |
k<=j,     (K=1)       
            |
sum=0.    sum++       ---> sum = 1

Eso es (1) = 1

Para, N=2 :

i<=N,     (i=1)-------(i=2)
            |     |-----|-----|
j<=i,     (j=1) (j=1)      (j=2)
            |     |     |----|----|
k<=j,     (K=1) (K=1) (K=1)    (K=2)               
            |     |     |        |    
sum=0,    sum++  sum++ sum++   sum++  --> sum = 4

Eso es (1) + (1 + 2) = 4

Para, N=3 :

i<=N,     (i=1)-------(i=2)--------------------(i=3)
            |     |-----|-----|        |---------|-------------|
j<=i,     (j=1) (j=1)      (j=2)     (j=1)      (j=2)        (j=3)
            |     |     |----|----|    |     |----|----|    |-----|-----|
k<=j,     (K=1) (K=1) (K=1)    (K=2) (K=1) (K=1)    (K=2) (K=1) (K=2) (K=3)
            |     |     |        |     |     |        |     |     |        |
sum=0,    sum++  sum++ sum++  sum++ sum++  sum++    sum++  sum++ sum++  sum++
            --> sum = 10

Eso es (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10

N = 1, (1)    = 1                                           

N = 2, (1) + (1 + 2)    = 4

N = 3, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3)  = 10

N = 4, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4)  = 20

N = 5, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)  = 35

Finalmente, pude entender que la suma de N en tres ciclos es:

(1) + (suma de 0f 1 a 2) + ... + (suma de 1 a (N-2)) + (suma de 1 a (N-1)) + (suma de 1 a N)

o podemos escribirlo como:

=> (1) + (1 + 2) + ... + (1 + 2 + .... + i) + ... + (1 + 2 + .... + N-1) + (1 + 2 + .... + N)

=> (N * 1) + ((N-1) * 2) + ((N-2) * 3) + ... + ((N -i + 1) * i) + ... + (1 * N)

Puede consultar aquí para los cálculos de simplificación: (pregunté AQUÍ )

[ SU RESPUESTA ]

= ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

Y, creo que es correcto. Lo revisé de la siguiente manera:

N = 1,    (1 * 2 * 3)/6  = 1

N = 2,    (2 * 3 * 4)/6 = 4

N = 3,    (3 * 4 * 5)/6 = 6

N = 4,    (4 * 5 * 6)/6 = 10

N = 5,    (5 * 6 * 7)/6 = 35   

Además, la complejidad de este algoritmo es O (n ³ )

EDITAR :

El siguiente ciclo también tiene los mismos números de conteo, es decir = ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

for i in 1 … N loop
  for j in i … N loop
    for k in j … N loop
      sum = sum + i ;
    end loop;
  end loop;
end loop;