print - python prime

Tamiz de Eratóstenes-Encontrando Primes Python

Question

Solo para aclarar, este no es un problema de tarea :)

Quería encontrar primos para una aplicación matemática que estoy construyendo y encontré el enfoque de Sieve of Eratosthenes .

He escrito una implementación de esto en Python. Pero es terriblemente lento. Por ejemplo, si quiero encontrar todos los números primos de menos de 2 millones. Lleva> 20 minutos. (Lo detuve en este punto). ¿Cómo puedo acelerar esto?

def primes_sieve(limit):
limitn = limit+1
primes = range(2, limitn)
for i in primes:
factors = range(i, limitn, i)
for f in factors[1:]:
if f in primes:
primes.remove(f)
return primes
print primes_sieve(2000)

ACTUALIZACIÓN: Terminé haciendo perfiles sobre este código y descubrí que se había gastado bastante tiempo en eliminar un elemento de la lista. Es bastante comprensible teniendo en cuenta que tiene que atravesar toda la lista (el peor de los casos) para encontrar el elemento y luego eliminarlo y luego reajustar la lista (¿quizás alguna copia continúa?). De todos modos, descarté la lista para el diccionario. Mi nueva implementación -

def primes_sieve1(limit):
limitn = limit+1
primes = dict()
for i in range(2, limitn): primes[i] = True
for i in primes:
factors = range(i,limitn, i)
for f in factors[1:]:
primes[f] = False
return [i for i in primes if primes[i]==True]
print primes_sieve1(2000000)

Answer 1

Al combinar las contribuciones de muchos entusiastas (incluidos Glenn Maynard y MrHIDEn de los comentarios anteriores), se me ocurrió la siguiente pieza de código en Python 2:

def simpleSieve(sieveSize):
#creating Sieve.
sieve = [True] * (sieveSize+1)
# 0 and 1 are not considered prime.
sieve[0] = False
sieve[1] = False
for i in xrange(2,int(math.sqrt(sieveSize))+1):
if sieve[i] == False:
continue
for pointer in xrange(i**2, sieveSize+1, i):
sieve[pointer] = False
# Sieve is left with prime numbers == True
primes = []
for i in xrange(sieveSize+1):
if sieve[i] == True:
primes.append(i)
return primes
sieveSize = input()
primes = simpleSieve(sieveSize)

El tiempo necesario para el cálculo en mi máquina para diferentes entradas en potencia de 10 es:

• 3: 0.3 ms
• 4: 2.4 ms
• 5: 23 ms
• 6: 0.26 s
• 7: 3.1 s
• 8: 33 s

Answer 2

Aquí hay una versión que es un poco más eficiente con la memoria (y: un tamiz adecuado, no divisiones de prueba). Básicamente, en lugar de mantener una matriz de todos los números, y tachar aquellos que no son primos, esto mantiene una variedad de contadores, uno por cada prima que se descubra, y saltándolos antes de la supuesta prima. De esta forma, usa el almacenamiento proporcional al número de primos, no hasta el máximo principal.

import itertools
def primes():
class counter:
def __init__ (this, n): this.n, this.current, this.isVirgin = n, n*n, True
# isVirgin means it''s never been incremented
def advancePast (this, n): # return true if the counter advanced
if this.current > n:
if this.isVirgin: raise StopIteration # if this is virgin, then so will be all the subsequent counters. Don''t need to iterate further.
return False
this.current += this.n # pre: this.current == n; post: this.current > n.
this.isVirgin = False # when it''s gone, it''s gone
return True
yield 1
multiples = []
for n in itertools.count(2):
isPrime = True
for p in (m.advancePast(n) for m in multiples):
if p: isPrime = False
if isPrime:
yield n
multiples.append (counter (n))

Notará que primes() es un generador, por lo que puede mantener los resultados en una lista o puede usarlos directamente. Aquí están los primeros n primos:

import itertools
for k in itertools.islice (primes(), n):
print (k)

Y, para completar, aquí hay un temporizador para medir el rendimiento:

import time
def timer ():
t, k = time.process_time(), 10
for p in primes():
if p>k:
print (time.process_time()-t, " to ", p, "/n")
k *= 10
if k>100000: return

En caso de que se lo pregunte, también escribí primes() como un iterador simple (usando __iter__ y __next__ ), y se ejecutó casi a la misma velocidad. ¡Me sorprendiste también!

Answer 3

La eliminación desde el comienzo de una matriz (lista) requiere mover todos los elementos después de que se apague. Eso significa que eliminar cada elemento de una lista de esta manera comenzando desde el frente es una operación O (n ^ 2).

Puedes hacer esto mucho más eficientemente con sets:

def primes_sieve(limit):
limitn = limit+1
not_prime = set()
primes = []
for i in range(2, limitn):
if i in not_prime:
continue
for f in range(i*2, limitn, i):
not_prime.add(f)
primes.append(i)
return primes
print primes_sieve(1000000)

... o como alternativa, evite tener que reorganizar la lista:

def primes_sieve(limit):
limitn = limit+1
not_prime = [False] * limitn
primes = []
for i in range(2, limitn):
if not_prime[i]:
continue
for f in xrange(i*2, limitn, i):
not_prime[f] = True
primes.append(i)
return primes

Answer 4

Me doy cuenta de que esto realmente no responde la pregunta de cómo generar números primos rápidamente, pero quizás algunos encuentren interesante esta alternativa: dado que python proporciona una evaluación lenta a través de generadores, el tamiz de eratosthenes puede implementarse exactamente como se indica:

def intsfrom(n):
while True:
yield n
n += 1
def sieve(ilist):
p = next(ilist)
yield p
for q in sieve(n for n in ilist if n%p != 0):
yield q
try:
for p in sieve(intsfrom(2)):
print p,
print ''''
except RuntimeError as e:
print e

El bloque try está ahí porque el algoritmo se ejecuta hasta que sopla la pila y, sin el bloque try, se muestra la traza inversa presionando la salida real que desea ver fuera de la pantalla.

Answer 5

Mi implementación:

import math
n = 100
marked = {}
for i in range(2, int(math.sqrt(n))):
if not marked.get(i):
for x in range(i * i, n, i):
marked[x] = True
for i in range(2, n):
if not marked.get(i):
print i

Answer 6

Mucho mas rápido:

import time
def get_primes(n):
m = n+1
#numbers = [True for i in range(m)]
numbers = [True] * m #EDIT: faster
for i in range(2, int(n**0.5 + 1)):
if numbers[i]:
for j in range(i*i, m, i):
numbers[j] = False
primes = []
for i in range(2, m):
if numbers[i]:
primes.append(i)
return primes
start = time.time()
primes = get_primes(10000)
print(time.time() - start)
print(get_primes(100))

Answer 7

No estás implementando el algoritmo correcto:

En su primer ejemplo, primes_sieve no mantiene una lista de indicadores de primalidad para activar / desactivar (como en el algoritmo), sino que cambia el tamaño de una lista de enteros continuamente, lo cual es muy costoso: eliminar un elemento de una lista requiere cambiar todos los siguientes artículos abajo por uno.

En el segundo ejemplo, primes_sieve1 mantiene un diccionario de indicadores de primalidad, que es un paso en la dirección correcta, pero itera sobre el diccionario en un orden indefinido y saca redundantemente factores de factores (en lugar de solo factores de primos, como en el algoritmo). Puede solucionar esto clasificando las teclas y omitiendo las no primarias (lo que ya lo hace un orden de magnitud más rápido), pero aún es mucho más eficiente usar una lista directamente.

El algoritmo correcto (con una lista en lugar de un diccionario) tiene el siguiente aspecto:

def primes_sieve2(limit):
a = [True] * limit # Initialize the primality list
a[0] = a[1] = False
for (i, isprime) in enumerate(a):
if isprime:
yield i
for n in xrange(i*i, limit, i): # Mark factors non-prime
a[n] = False

(Tenga en cuenta que esto también incluye la optimización algorítmica de comenzar la marca no principal en el cuadrado de la prima ( i*i ) en lugar de su doble).

Answer 8

Pensé que debía ser posible usar simplemente la lista vacía como condición de terminación para el ciclo y se me ocurrió esto:

limit = 100
ints = list(range(2, limit)) # Will end up empty
while len(ints) > 0:
prime = ints[0]
print prime
ints.remove(prime)
i = 2
multiple = prime * i
while multiple <= limit:
if multiple in ints:
ints.remove(multiple)
i += 1
multiple = prime * i

Answer 9

Prefiero NumPy por la velocidad.

import numpy as np
# Find all prime numbers using Sieve of Eratosthenes
def get_primes1(n):
m = int(np.sqrt(n))
is_prime = np.ones(n, dtype=bool)
is_prime[:2] = False # 0 and 1 are not primes
for i in range(2, m):
if is_prime[i] == False:
continue
is_prime[i*i::i] = False
return np.nonzero(is_prime)[0]
# Find all prime numbers using brute-force.
def isprime(n):
'''''' Check if integer n is a prime ''''''
n = abs(int(n)) # n is a positive integer
if n < 2: # 0 and 1 are not primes
return False
if n == 2: # 2 is the only even prime number
return True
if not n & 1: # all other even numbers are not primes
return False
# Range starts with 3 and only needs to go up the square root
# of n for all odd numbers
for x in range(3, int(n**0.5)+1, 2):
if n % x == 0:
return False
return True
# To apply a function to a numpy array, one have to vectorize the function
def get_primes2(n):
vectorized_isprime = np.vectorize(isprime)
a = np.arange(n)
return a[vectorized_isprime(a)]

Verifique el resultado:

n = 100
print(get_primes1(n))
print(get_primes2(n))
[ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97]
[ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97]

Compara la velocidad de Sieve of Eratosthenes y brute-force en Jupyter Notebook. Tamiz de Eratóstenes en 539 veces más rápido que la fuerza bruta para millones de elementos.

%timeit get_primes1(1000000)
%timeit get_primes2(1000000)
4.79 ms ± 90.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
2.58 s ± 31.2 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

Answer 10

Un truco de velocidad simple: cuando define la variable "primos", establezca el paso en 2 para omitir automáticamente todos los números pares y establecer el punto de inicio en 1.

Luego puede optimizar aún más en lugar de para i en números primos, use para i en números primos [: round (len (primes) ** 0.5)]. Eso aumentará dramáticamente el rendimiento. Además, puedes eliminar números que terminan en 5 para aumentar aún más la velocidad.

Answer 11

def eratosthenes(n):
multiples = []
for i in range(2, n+1):
if i not in multiples:
print (i)
for j in range(i*i, n+1, i):
multiples.append(j)
eratosthenes(100)