algorithm - ¿Cómo se puede encontrar un punto a una distancia perpendicular dada de una línea?

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Question

Tengo una línea que dibujo en una ventana y dejo que el usuario la arrastre. Entonces, mi línea está definida por dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2). Pero ahora me gustaría dibujar "límites" al final de mi línea, es decir, líneas perpendiculares cortas en cada uno de mis puntos finales. Las tapas deben tener N píxeles de longitud.

Por lo tanto, para dibujar mi línea "cap" en el punto final (x1, y1), necesito encontrar dos puntos que formen una línea perpendicular y donde cada uno de sus puntos estén a N / 2 píxeles de distancia del punto (x1, y1).

Entonces, ¿cómo se calcula un punto (x3, y3) dado que debe estar a una distancia perpendicular N / 2 de distancia del punto final (x1, y1) de una línea conocida, es decir, la línea definida por (x1, y1) y (x2, y2)?

Answer 1

Como los vectores de 2 a 1 y de 1 a 3 son perpendiculares, su producto de puntos es 0.

Esto te deja con dos incógnitas: x de 1 a 3 (x13) e y de 1 a 3 (y13)

Usa el teorema de Pitágoras para obtener otra ecuación para esas incógnitas.

Resuelve para cada desconocido por sustitución ...

Esto requiere cuadrar y descalzar, por lo que pierde el signo asociado con sus ecuaciones.

Para determinar el signo, considere:

while x21 is negative, y13 will be positive
while x21 is positive, y13 will be negative
while y21 is positive, x13 will be positive
while y21 is negative, x13 will be negative

Conocido: punto 1: x1, y1

Conocido: punto 2: x2, y2

x21 = x1 - x2
y21 = y1 - y2

Conocido: distancia | 1-> 3 | : N / 2

ecuación a: teorema de Pitágoras

x13^2 + y13^2 = |1->3|^2
x13^2 + y13^2 = (N/2)^2

Conocido: ángulo 2-1-3: ángulo recto

los vectores 2-> 1 y 1-> 3 son perpendiculares

2-> 1 punto 1-> 3 es 0

ecuación b: producto punto = 0

x21*x13 + y21*y13 = 2->1 dot 1->3
x21*x13 + y21*y13 = 0

relación b / w x13 y y13:

x21*x13 = -y21*y13
x13 = -(y21/x21)y13
x13 = -phi*y13

ecuación a: resuelto para y13 con relación

 plug x13 into a
phi^2*y13^2 + y13^2 = |1->3|^2
factor out y13
y13^2 * (phi^2 + 1) =
plug in phi
y13^2 * (y21^2/x21^2 + 1) =
multiply both sides by x21^2
y13^2 * (y21^2 + x21^2) = |1->3|^2 * x21^2
plug in Pythagorean theorem of 2->1
y13^2 * |2->1|^2 = |1->3|^2 * x21^2
take square root of both sides
y13 * |2->1| = |1->3| * x21
divide both sides by the length of 1->2
y13 = (|1->3|/|2->1|) *x21
lets call the ratio of 1->3 to 2->1 lengths psi
y13 = psi * x21
check the signs
when x21 is negative, y13 will be positive
when x21 is positive, y13 will be negative
y13 = -psi * x21

ecuación a: resuelto para x13 con relación

 plug y13 into a
x13^2 + x13^2/phi^2 = |1->3|^2
factor out x13
x13^2 * (1 + 1/phi^2) =
plug in phi
x13^2 * (1 + x21^2/y21^2) =
multiply both sides by y21^2
x13^2 * (y21^2 + x21^2) = |1->3|^2 * y21^2
plug in Pythagorean theorem of 2->1
x13^2 * |2->1|^2 = |1->3|^2 * y21^2
take square root of both sides
x13 * |2->1| = |1->3| * y21
divide both sides by the length of 2->1
x13 = (|1->3|/|2->1|) *y21
lets call the ratio of |1->3| to |2->1| psi
x13 = psi * y21
check the signs
when y21 is negative, x13 will be negative
when y21 is positive, x13 will be negative
x13 = psi * y21

condensar

x21 = x1 - x2
y21 = y1 - y2
|2->1| = sqrt( x21^2 + y^21^2 )
|1->3| = N/2
psi = |1->3|/|2->1|
y13 = -psi * x21
x13 = psi * y21

Normalmente no haría esto, pero lo resolví en el trabajo y pensé que si lo explicaba a fondo me ayudaría a solidificar mi conocimiento.

Answer 2

Necesita calcular un vector unitario que sea perpendicular al segmento de línea. Evite calcular la pendiente porque eso puede llevar a dividir entre cero errores.

dx = x1-x2
dy = y1-y2
dist = sqrt(dx*dx + dy*dy)
dx /= dist
dy /= dist
x3 = x1 + (N/2)*dy
y3 = y1 - (N/2)*dx
x4 = x1 - (N/2)*dy
y4 = y1 + (N/2)*dx

Answer 3

Si quiere evitar un sqrt, haga lo siguiente:

in: line_length, cap_length, rotation, position of line centre
define points:
tl (-line_length/2, cap_length)
tr (line_length/2, cap_length)
bl (-line_length/2, -cap_length)
br (line_length/2, -cap_length)
rotate the four points by ''rotation''
offset four points by ''position''
drawline (midpoint tl,bl to midpoint tr,br)
drawline (tl to bl)
drawline (tr to br)

Answer 4

Simplemente evalúa el versor ortogonal y lo multiplica por N / 2

vx = x2-x1
vy = y2-y1
len = sqrt( vx*vx + vy*vy )
ux = -vy/len
uy = vx/len
x3 = x1 + N/2 * ux
Y3 = y1 + N/2 * uy
x4 = x1 - N/2 * ux
Y4 = y1 - N/2 * uy