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Aproximación del bezier cúbico no paramétrico (2)
Sí, el algoritmo de Casteljau funcionaría para ti. Sin embargo, no sé si será más rápido que resolver la ecuación cúbica por el método de Cardano.
¿Cuál es la mejor manera de aproximar una curva de Bezier cúbica? Idealmente, me gustaría una función y (x) que daría el valor y exacto para cualquier x dada, pero esto implicaría resolver una ecuación cúbica para cada valor x, que es demasiado lenta para mis necesidades, y puede haber problemas de estabilidad numérica también con este enfoque.
¿ Esta sería una buena solución?
Solo resuelve el cubico.
Si está hablando de las curvas del plano Bezier, donde x (t) e y (t) son polinomios cúbicos, entonces y (x) podría no estar definido o tener valores múltiples. Un caso degenerado extremo sería la línea x = 1.0, que puede expresarse como un Bezier cúbico (el punto de control 2 es el mismo que el punto final 1, el punto de control 3 es el mismo que el punto final 4). En ese caso, y (x) no tiene soluciones para x! = 1.0, y soluciones infinitas para x == 1.0.
Un método de subdivisión recursiva funcionará, pero esperaría que fuera mucho más lento que resolver el cúbico. (A menos que esté trabajando con algún tipo de procesador integrado con una capacidad de coma flotante inusualmente pobre).
No debería tener problemas para encontrar un código que resuelva un cubico que ya ha sido probado y depurado a fondo. Si implementa su propia solución usando la subdivisión recursiva, no tendrá esa ventaja.
Finalmente, sí, puede haber problemas numéricos de estabilidad, como cuando el punto que desea está cerca de una tangente, pero un método de subdivisión no los eliminará. Simplemente los hará menos obvios.
EDITAR : responde a tu comentario, pero necesito más de 300 caracteres.
Solo estoy tratando con curvas de bezier donde y (x) tiene solo una raíz (real). Con respecto a la estabilidad numérica, usando la fórmula de http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Summary , parece que podría haber problemas si usted es muy pequeño. - jtxx000
El artículo de wackypedia es matemática sin código. Sospecho que puedes encontrar algún código de libro de cocina que esté más listo para usar en alguna parte. Quizás los Recorridos Numéricos o los algoritmos recopilados de ACM enlazan el texto .
Para su pregunta específica, y usando la misma notación que el artículo, u solo es cero o cerca de cero cuando p también es cero o cercano a cero. Están relacionados por la ecuación:
u^^6 + qu^^3 == p^^3 /27
Cerca de cero, puede usar la aproximación:
qu^^3 == p^^3 /27
o p / 3u == raíz cúbica de q
Entonces el cálculo de x de u debería contener algo como:
(fabs(u) >= somesmallvalue) ? (p / u / 3.0) : cuberoot (q)
¿Qué tan cerca está el cero? Depende de la precisión que necesites. Podría pasar algún tiempo de calidad con Maple o Matlab mirando cuánto error se introduce para qué magnitud de u. Por supuesto, solo usted sabe la precisión que necesita.
El artículo proporciona 3 fórmulas para ti para las 3 raíces del cubo. Dados los tres valores u, puede obtener los 3 valores x correspondientes. Los 3 valores para uyx son todos números complejos con un componente imaginario. Si está seguro de que tiene que haber una sola solución real, entonces espera que una de las raíces tenga un componente imaginario cero y las otras dos sean conjugados complejos. Parece que tienes que calcular los tres y luego elegir el verdadero. (Tenga en cuenta que un complejo u puede corresponder a una x real!) Sin embargo, hay otro problema de estabilidad numérica: la aritmética de punto flotante es lo que es, el componente imaginario de la solución real no será exactamente cero, y los componentes imaginarios de las raíces no reales pueden ser arbitrariamente cercanas a cero. Entonces, el redondeo numérico puede hacer que elijas la raíz incorrecta. Sería útil si hay algún control de cordura de su aplicación que pueda aplicar allí.
Si elige la raíz correcta, una o más iteraciones de Newton-Raphson pueden mejorar su exactitud mucho.