algorithm - para - ¿Cómo expresar un entero usando los símbolos+*() y 1 con un costo mínimo?

cuantos octavos se necesitan para formar 1/2

Question

La tarea es construir números enteros a partir de los símbolos + * ( ) (suma, multiplicación y corchetes) y el dígito 1 . Se le da un número entero y debe dar salida a una expresión utilizando el número mínimo de caracteres. Por ejemplo:

4    = 1+1+1+1  
23   = 11+11+1  
242  = (11+11)*11  
1000 = 1+(1+1+1)*(1+1+1)*111 
1997 = (1+1)*(1+1+1)*111+11*11*11 

Answer 1

Aquí está mi solución recursiva. Funciona para 2000 elementos en aproximadamente 1.4 segundos en mi tableta:

import math

def to_onestr(n, numbers=None, divs=None):
    if numbers is None:
        numbers = [None] * (n + 1)
        numbers[0] = ('''', False)
    if divs is None:
        divs = get_divs(n)

    if numbers[n] is None:
        s = str(n)
        # Default representation is 11111 or 1+1+1+1
        if s == ''1''*len(s): res = (s, False)
        else: res = ("+".join([''1''] * n), True)

        # Find all representations d*k + r, d < k
        for d in divs:
            if d >= n: break
            k, r = divmod(n, d)
            if k < d: d, k = k, d
            k_res, r_res, d_res = to_onestr(k, numbers, divs), to_onestr(r, numbers, divs), to_onestr(d, numbers, divs)

            res_str, res_bool = '''', False
            if d != 1:
                res_str += ''({})*''.format(d_res[0]) if d_res[1] else d_res[0] + ''*''
            res_str += ''({})''.format(k_res[0]) if k_res[1] else k_res[0]

            if d != 1 and len(k_res[0]) * d + d - 1 < len(res_str):
                res_str = ''+''.join([k_res[0]]*d)
                res_bool = True

            if r != 0:
                res_str += ''+{}''.format(r_res[0])
                res_bool = True
            if len(res_str) < len(res[0]):
                res = (res_str, res_bool)
        numbers[n] = res
    return numbers[n]

def get_divs(n):
    p = [1] * (n + 1)
    # Get all prime numbers + all numbers which contains only 1 + all numbers we could get from 11..1 by multiplication
    for i in range(2, int(math.ceil(math.sqrt(n)))):
        if p[i] == 1:
            for j in range(i * i, n, i):
                if j % i == 0:
                    p[j] = 0

    for x in xrange(2, len(str(n)) + 1):
        i = int(''1''*x)
        j = i
        while j <= n:
            p[j] = 1
            j = j * i

    return [i for (i, v) in enumerate(p) if v == 1 and i > 1]

Pruebas de velocidad:

>>> timeit(''to_onestr(2000)'', ''from __main__ import to_onestr'', number=1)
1.1375278780336457
>>> timeit(''to_onestr(4000)'', ''from __main__ import to_onestr'', number=1)
3.6481025870678696
>>> timeit(''to_onestr(6000)'', ''from __main__ import to_onestr'', number=1)
7.732885259577177

También probado el enfoque @Anonymous

>>> timeit(''minconstruct(2000)'', ''from __main__ import minconstruct'', number=1)
12.012599471759474

Answer 2

Puede usar la programación dinámica y calcular, para cada número i <n, la expresión más corta que calcula i, y la expresión más corta que calcula i que se puede usar en un contexto multiplicativo. En general, la segunda expresión será más larga que la primera: por ejemplo, 2 puede construirse como ''1 + 1'', pero si quiere un ''2'' en una multiplicación, entonces será ''(1 + 1)''.

Aquí hay un código no optimizado que imprime las soluciones más cortas para todos los números hasta el 2000. Se ejecuta en una fracción de más de 2 segundos en mi computadora portátil, pero hay mucho margen para eliminar toda la construcción de cadenas del código. Se ejecuta en tiempo O (n ^ 2).

def getbest(a, b):
    return a or b if not (a and b) else min((a, b), key=len)

def minconstruct(n):
    res = [[None, None] for _ in range(n + 1)]
    for i in xrange(1, n + 1):
        if set(str(i)) == set(''1''):
            res[i][0] = res[i][1] = str(i)
        for j in xrange(1, i // 2 + 1):
            sol = ''%s+%s'' % (res[j][0], res[i-j][0])
            res[i][0] = getbest(res[i][0], sol)
            res[i][1] = getbest(res[i][1], ''('' + sol + '')'')
        for j in xrange(2, i):
            if i % j != 0:
                        continue
            sol = ''%s*%s'' % (res[j][1], res[i//j][1])
            res[i][0] = getbest(res[i][0], sol)
            res[i][1] = getbest(res[i][1], sol)             
    return res

r = minconstruct(2000)
for i, x in enumerate(r[1:]):
    print ''%4d: %s'' % (i, x[0])