python - recognition - stanford university convolutional neural network

CS231n: ¿Cómo calcular el gradiente para la función de pérdida de Softmax?

Question

Estoy viendo algunos videos de Stanford CS231: Redes neuronales convolucionales para el reconocimiento visual, pero no entiendo bien cómo calcular el gradiente analítico para la función de pérdida de numpy usando numpy .

A partir de esta respuesta de pila de intercambio , el gradiente de softmax se calcula como:

La implementación de Python para lo anterior es:

num_classes = W.shape[0]
num_train = X.shape[1]
for i in range(num_train):
  for j in range(num_classes):
    p = np.exp(f_i[j])/sum_i
    dW[j, :] += (p-(j == y[i])) * X[:, i]

¿Alguien podría explicar cómo funciona el fragmento anterior? La implementación detallada para softmax también se incluye a continuación.

def softmax_loss_naive(W, X, y, reg):
  """
  Softmax loss function, naive implementation (with loops)
  Inputs:
  - W: C x D array of weights
  - X: D x N array of data. Data are D-dimensional columns
  - y: 1-dimensional array of length N with labels 0...K-1, for K classes
  - reg: (float) regularization strength
  Returns:
  a tuple of:
  - loss as single float
  - gradient with respect to weights W, an array of same size as W
  """
  # Initialize the loss and gradient to zero.
  loss = 0.0
  dW = np.zeros_like(W)

  #############################################################################
  # Compute the softmax loss and its gradient using explicit loops.           #
  # Store the loss in loss and the gradient in dW. If you are not careful     #
  # here, it is easy to run into numeric instability. Don''t forget the        #
  # regularization!                                                           #
  #############################################################################

  # Get shapes
  num_classes = W.shape[0]
  num_train = X.shape[1]

  for i in range(num_train):
    # Compute vector of scores
    f_i = W.dot(X[:, i]) # in R^{num_classes}

    # Normalization trick to avoid numerical instability, per http://cs231n.github.io/linear-classify/#softmax
    log_c = np.max(f_i)
    f_i -= log_c

    # Compute loss (and add to it, divided later)
    # L_i = - f(x_i)_{y_i} + log /sum_j e^{f(x_i)_j}
    sum_i = 0.0
    for f_i_j in f_i:
      sum_i += np.exp(f_i_j)
    loss += -f_i[y[i]] + np.log(sum_i)

    # Compute gradient
    # dw_j = 1/num_train * /sum_i[x_i * (p(y_i = j)-Ind{y_i = j} )]
    # Here we are computing the contribution to the inner sum for a given i.
    for j in range(num_classes):
      p = np.exp(f_i[j])/sum_i
      dW[j, :] += (p-(j == y[i])) * X[:, i]

  # Compute average
  loss /= num_train
  dW /= num_train

  # Regularization
  loss += 0.5 * reg * np.sum(W * W)
  dW += reg*W

  return loss, dW

Answer 1

No estoy seguro de si esto ayuda, pero:

es realmente la función de indicador , como se describe here . Esto forma la expresión (j == y[i]) en el código.

Además, el gradiente de la pérdida con respecto a los pesos es:

dónde

que es el origen de la X[:,i] en el código.

Answer 2

Sé que esto es tarde pero aquí está mi respuesta:

Supongo que está familiarizado con la función de pérdida de Softmax cs231n. Lo sabemos:

Así como lo hicimos con la función de pérdida de SVM, los gradientes son los siguientes:

Espero que haya ayudado.