transpuesta - ¿Cómo tomar el producto externo de más de dos matrices en una sola toma, en matlab?

longitud de un vector en matlab

Question

Quiero calcular y = a⊗a⊗a , donde a es un vector n-by-1, y ⊗ es el operador externo del producto . En este caso, y debería ser un tensor n-by-n-by-n.

Si y = a⊗a , es fácil. Simplemente lo hago:

y = a * a'' 

¿Pero qué hacer en el primer caso? ¿Cómo puedo calcular este producto externo de manera eficiente en MATLAB si hay más de dos vectores?

Answer 1

En un caso multidimensional (tensor) de y = u⊗v , creo que debe cambiar las dimensiones del segundo operando de la siguiente manera:

v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));

y luego multiplícalos con bsxfun :

y = bsxfun(@times, u, v_t);

La multiplicación de la matriz regular se define solo para las matrices vector y 2-D, por lo que no podríamos usarla en el caso general.

También tenga en cuenta que este cálculo aún falla si el segundo operando es un vector 1-D, porque ndims devuelve 2 en lugar de 1 para los vectores. Para este propósito, definamos nuestra propia función que cuenta las dimensiones:

my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));

Para completar la respuesta, puede definir una nueva función ( por ejemplo, una función anónima), de esta manera:

outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));

y luego úsala tantas veces como quieras. Por ejemplo, y = a×a×a se computaría así:

y = outprod(outprod(a, a), a);

Por supuesto, puede escribir una función mejor que tome una cantidad variable de argumentos para ahorrarle algo de tipeo. Algo en esta línea:

function y = outprod(u, varargin)
    my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
    y = u;
    for k = 1:numel(varargin)
        v = varargin{k};
        v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
        y = bsxfun(@times, y, v_t);
    end

¡Espero tener las matemáticas correctas!

Answer 2

Puede usar también la función kron :

kron(a * a'', a)

o cuando se necesitan cuatro productos externos (tensor de kronecker):

kron(kron(a * a'', a), a)

y así. El último te da una matriz mxn , donde m = n * n * n.

Si desea agregar dimensiones como sucede con los productos, puede usar la función de reshape :

reshape(kron(a * a'', a), [n, n, n])

o

reshape(kron(kron(a * a'', a), a), [n, n, n, n])

y así. El último te da un tensor nxnxnxn .

Answer 3

El problema con el uso de kron como en una solución anterior es que descarta la indexación canónica del producto externo.

En cambio, ndgrid es ideal para este escenario:

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];

[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));

% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);

En papel, podemos verificar que la solución M deseada es el cubo de datos:

M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) = 
           |            |            |
24    30   | 28    35   | 32    40   | 36    45
48    60   | 56    70   | 64    80   | 72    90
72    90   | 84   105   | 96   120   | 108   135

Usando el enfoque del producto Kronecker

M2 = reshape(kron(a * b'', c), [length(a), length(b), length(c)]);

obtendríamos:

M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) = 
            |             |             |
24    36    | 64    84    | 30    45    | 80   105
28    48    | 72    96    | 35    60    | 90   120
32    56    | 72   108    | 40    70    | 90   135

Datacube M2 tiene los mismos elementos que M , pero estos elementos se reorganizan . Esto se debe a que kron(a * b'', c) no contiene las porciones de M en bloques contiguos para facilitar la aplicación directa de la función de reshape . Para calcular el producto externo de esta manera, necesitaríamos aplicar una operación / función de reordenamiento (determinable, pero labriosa y lenta) a los elementos de kron(a * b'', c) .

Otra ventaja del uso de ndgrid es que se generaliza fácilmente a pedidos superiores.