math - que - Como programador, ¿cómo explicarías los números imaginarios?
numeros imaginarios youtube (13)
Como programador, creo que es mi trabajo ser bueno en matemáticas pero estoy teniendo problemas para dar vueltas a números imaginarios. He intentado google y wikipedia sin suerte, así que espero que un programador pueda explicarme, darme un ejemplo de un número al cuadrado que sea <= 0, algún uso de ejemplo, etc ...
Bueno, para el programador:
class complex {
public:
double real;
double imaginary;
complex(double a_real) : real(a_real), imaginary(0.0) { }
complex(double a_real, double a_imaginary) : real(a_real), imaginary(a_imaginary) { }
complex operator+(const complex &other) {
return complex(
real + other.real,
imaginary + other.imaginary);
}
complex operator*(const complex &other) {
return complex(
real*other.real - imaginary*other.imaginary,
real*other.imaginary + imaginary*other.real);
}
bool operator==(const complex &other) {
return (real == other.real) && (imaginary == other.imaginary);
}
};
Eso es básicamente todo lo que hay. Los números complejos son solo pares de números reales, para los cuales se definen sobrecargas especiales de +, * y ==. Y estas operaciones realmente se definen así. Entonces resulta que estos pares de números con estas operaciones encajan muy bien con el resto de las matemáticas, por lo que reciben un nombre especial.
No se trata tanto de números como de "contar", sino más bien de "se pueden manipular con +, -, *, ... y no causan problemas cuando se mezclan con números ''convencionales''". Son importantes porque llenan los huecos que dejan los números reales, así que no hay ningún número que tenga un cuadrado de -1. Ahora tiene complex(0, 1) * complex(0, 1) == -1.0 que es una notación útil, ya que no tiene que tratar los números negativos especialmente en estos casos. (Y, como resulta, básicamente ya no se necesitan todos los demás casos especiales, cuando se usan números complejos)
El punto principal es que agregue números que defina como soluciones a ecuaciones cuadráticas como x 2 = -1. Nombra una solución para esa ecuación i, las reglas de cálculo para i luego sigan de esa ecuación.
Esto es similar a definir números negativos como la solución de ecuaciones como 2 + x = 1 cuando solo sabía números positivos, o fracciones como soluciones a ecuaciones como 2x = 1 cuando solo conocía números enteros.
Grandes respuestas hasta ahora (¡realmente como Devin''s!)
Un punto más:
Uno de los primeros usos de los números complejos (aunque no se llamaban así en ese momento) fue un paso intermedio para resolver ecuaciones de tercer grado. enlazar
De nuevo, esto es puramente un instrumento que se usa para responder problemas reales con números reales que tienen un significado físico.
Problema: no solo soy un programador, soy un matemático. Solución: arar de todos modos.
No hay nada realmente mágico para los números complejos. La idea detrás de su inicio es que hay algo mal con los números reales. Si tienes una ecuación x ^ 2 + 4, esto nunca es cero, mientras que x ^ 2 - 2 es cero dos veces. Entonces los matemáticos realmente se enojaron y querían que siempre hubiera ceros con polinomios de grado al menos uno (quería un campo "algebraicamente cerrado"), y crearon un número arbitrario j tal que j = sqrt (-1). Todas las reglas caen en su lugar a partir de ahí (aunque se reorganizan de forma más precisa de forma diferente, específicamente, formalmente no se puede decir "hey este número es la raíz cuadrada de uno negativo"). Si existe ese número j, puedes obtener múltiplos de j. Y puedes agregar números reales a j, entonces tienes números complejos. Las operaciones con números complejos son similares a las operaciones con binomios (deliberadamente).
El problema real con los complejos no se encuentra en todo esto, sino en el hecho de que no se puede definir un sistema mediante el cual se puedan obtener las reglas ordinarias para menor que y mayor que. Entonces, realmente, llegas a donde no lo defines en absoluto. No tiene sentido en un espacio bidimensional. Así que honestamente, no puedo responder "dame un example de un número al cuadrado que es <= 0", aunque "j" tiene sentido si tratas su cuadrado como un número real en lugar de un número complejo.
En cuanto a los usos, bueno, personalmente los usé más cuando trabajo con fractales. La idea detrás del fractal de mandelbrot es que es una forma de representar gráficamente z = z ^ 2 + c y su divergencia a lo largo de los ejes imaginarios reales.
Sería más fácil dejar de tratar de comprender cómo un número puede ser una raíz cuadrada de un número negativo, y simplemente continuar asumiendo que sí lo es.
Entonces (usando el i como la raíz cuadrada de -1):
(3+5i)*(2-i)
= (3+5i)*2 + (3+5i)*(-i)
= 6 + 10i -3i - 5i * i
= 6 + (10 -3)*i - 5 * (-1)
= 6 + 7i + 5
= 11 + 7i
funciona de acuerdo con las reglas estándar de las matemáticas (recordando que cuadrado es igual a -1 en la línea cuatro).
Si está interesado en encontrar una aplicación simple y si está familiarizado con las matrices, a veces es útil usar números complejos para transformar una matriz perfectamente real en una triangular en el espacio complejo, y hace que la computación sea un poco más fácil. .
El resultado es, por supuesto, perfectamente real.
También podría preguntar por qué existen los números negativos? Existen porque quiere representar soluciones a ciertas ecuaciones como: x + 5 = 0. Lo mismo se aplica a los números imaginarios, quiere representar de forma compacta las soluciones a las ecuaciones de la forma: x ^ 2 + 1 = 0.
Aquí hay una forma en que los he visto usar en la práctica. En EE a menudo se trata de funciones que son ondas sinusoidales, o que se pueden descomponer en ondas sinusoidales. (Ver por ejemplo Series de Fourier ).
Por lo tanto, a menudo verá soluciones a las ecuaciones de la forma:
f (t) = A * cos (wt)
Además, a menudo desea representar funciones que se desplazan por alguna fase de esta función. Un cambio de fase de 90 grados le dará una función de pecado.
g (t) = B * sin (wt)
Puede obtener cualquier desplazamiento de fase arbitrario combinando estas dos funciones (llamadas componentes en fase y en cuadratura).
h (t) = A cos (wt) + i B * sin (wt)
La clave aquí es que en un sistema lineal: si f (t) y g (t) resuelven una ecuación, h (t) también resolverá la misma ecuación. Entonces, ahora tenemos una solución genérica para la ecuación h (t).
Lo bueno de h (t) es que se puede escribir de forma compacta
h (t) = Cexp (wt + theta)
Usando el hecho de que exp (iw) = cos (w) + i * sin (w).
Realmente no hay nada extraordinariamente profundo acerca de esto. Simplemente está explotando una identidad matemática para representar de forma compacta una solución común a una amplia variedad de ecuaciones.
Un número imaginario es un número real multiplicado por la unidad imaginaria i . i se define como:
i == sqrt(-1)
Asi que:
i * i == -1
Usando esta definición puedes obtener la raíz cuadrada de un número negativo como este:
sqrt(-3)
== sqrt(3 * -1)
== sqrt(3 * i * i) // Replace ''-1'' with ''i squared''
== sqrt(3) * i // Square root of ''i squared'' is ''i'' so move it out of sqrt()
Y su respuesta final es el número real sqrt(3) multiplicado por la unidad imaginaria i .
Una respuesta corta: los números reales son unidimensionales, los números imaginarios agregan una segunda dimensión a la ecuación y algunas cosas raras suceden si multiplicas ...
No quiero convertir este sitio en un desbordamiento matemático, pero para aquellos que estén interesados: Echen un vistazo a "Un cuento imaginario: la historia de sqrt (-1)" de Paul J. Nahin. Habla de toda la historia y varias aplicaciones de números imaginarios de una manera divertida y emocionante. Ese libro es lo que me hizo decidir hacer un título en matemáticas cuando lo leí hace 7 años (y estaba pensando en el arte). Gran lectura !!
Si la pregunta es "¿Existen números imaginarios?" o "¿Cómo existen los números imaginarios?" entonces no es una pregunta para un programador. Puede que ni siquiera sea una pregunta para un matemático, sino más bien un metafísico o filósofo de las matemáticas, aunque un matemático puede sentir la necesidad de justificar su existencia en el campo. Es útil comenzar con una discusión sobre cómo existen los números (bastantes matemáticos que se han acercado a esta pregunta son platónicos, fyi). Algunos insisten en que los números imaginarios (como lo hizo el primer Whitehead) son una conveniencia práctica. Pero entonces, si los números imaginarios son simplemente una conveniencia práctica, ¿qué dice eso acerca de las matemáticas? No se puede simplemente explicar los números imaginarios como una mera herramienta práctica o un par de números reales sin tener que explicar los dos pares y las consecuencias generales de que sean "prácticos". Otros insisten en la existencia de números imaginarios, argumentando que su inexistencia socavaría las teorías físicas que hacen un uso intensivo de ellos (la QM está hasta la rodilla en espacios complejos de Hilbert). El problema está más allá del alcance de este sitio web, creo.
Si su pregunta es mucho más realista, por ejemplo, cómo se expresan los números imaginarios en el software, entonces la respuesta anterior (un par de reales, junto con operaciones definidas de ellos) es la misma.
En ingeniería eléctrica, la impedancia Z de un inductor es jwL, donde w = 2 * pi * f (frecuencia) yj (sqrt (-1)) significa que conduce 90 grados, mientras que para un condensador Z = 1 / jwc = -j / wc que es -90deg / wc de modo que rezaga una resistencia simple en 90 grados.
Creo que esta entrada de blog es una buena explicación:
La palabra clave es rotación (en oposición a la dirección para números negativos, que son tan extraños como el número imaginario cuando los piensas: ¿ menos que nada ?)
Al igual que los números negativos que modelan el volteo, los números imaginarios pueden modelar cualquier cosa que gire entre dos dimensiones "X" e "Y" . O cualquier cosa con una relación cíclica circular