algorithm - partitions - problema de las particiones

Generando las particiones de un número

Question

Necesitaba un algoritmo para generar todas las particiones posibles de un número positivo, y se me ocurrió una (publicada como respuesta), pero es un tiempo exponencial.

El algoritmo debe devolver todas las formas posibles en que un número se puede expresar como la suma de números positivos menores o iguales a sí mismo. Entonces, por ejemplo, para el número 5 , el resultado sería:

• 5
• 4 + 1
• 3 + 2
• 3 + 1 + 1
• 2 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1 + 1
• 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Entonces mi pregunta es: ¿hay un algoritmo más eficiente para esto?

EDITAR: La pregunta se tituló "Suma descomposición de un número" , ya que realmente no sabía cómo se llamaba. ShreevatsaR señaló que se llamaban "particiones", por lo que edité el título de la pregunta en consecuencia.

Answer 1

Aquí está mi solución (tiempo exponencial) en Python:

q = { 1: [[1]] }
def decompose(n):
try:
return q[n]
except:
pass
result = [[n]]
for i in range(1, n):
a = n-i
R = decompose(i)
for r in R:
if r[0] <= a:
result.append([a] + r)
q[n] = result
return result

>>> decompose(5)
[[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1]]

Answer 2

Aquí hay una manera mucho más prolija de hacerlo (esto es lo que hice antes de conocer el término "partición", que me permitió hacer una búsqueda en Google):

def magic_chunker (remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets):
if remainder > 0:
if prevChunkSet and (len(prevChunkSet) > len(chunkSet)): # counting down from previous
# make a chunk that is one less than relevant one in the prevChunkSet
position = len(chunkSet)
chunk = prevChunkSet[position] - 1
prevChunkSet = [] # clear prevChunkSet, no longer need to reference it
else: # begins a new countdown;
if chunkSet and (remainder > chunkSet[-1]): # no need to do iterations any greater than last chunk in this set
chunk = chunkSet[-1]
else: # i.e. remainder is less than or equal to last chunk in this set
chunk = remainder #else use the whole remainder for this chunk
chunkSet.append(chunk)
remainder -= chunk
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: #i.e. remainder==0
chunkSets.append(list(chunkSet)) #save completed partition
prevChunkSet = list(chunkSet)
if chunkSet[-1] > 1: # if the finalchunk was > 1, do further recursion
remainder = chunkSet.pop() #remove last member, and use it as remainder
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
else: # last chunk is 1
if chunkSet[0]==1: #the partition started with 1, we know we''re finished
return chunkSets
else: #i.e. still more chunking to go
# clear back to last chunk greater than 1
while chunkSet[-1]==1:
remainder += chunkSet.pop()
remainder += chunkSet.pop()
magic_chunker(remainder, chunkSet, prevChunkSet, chunkSets)
partitions = []
magic_chunker(10, [], [], partitions)
print partitions
>> [[10], [9, 1], [8, 2], [8, 1, 1], [7, 3], [7, 2, 1], [7, 1, 1, 1], [6, 4], [6, 3, 1], [6, 2, 2], [6, 2, 1, 1], [6, 1, 1, 1, 1], [5, 5], [5, 4, 1], [5, 3, 2], [5, 3, 1, 1], [5, 2, 2, 1], [5, 2, 1, 1, 1], [5, 1, 1, 1, 1, 1], [4, 4, 2], [4, 4, 1, 1], [4, 3, 3], [4, 3, 2, 1], [4, 3, 1, 1, 1], [4, 2, 2, 2], [4, 2, 2, 1, 1], [4, 2, 1, 1, 1, 1], [4, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 3, 3, 1], [3, 3, 2, 2], [3, 3, 2, 1, 1], [3, 3, 1, 1, 1, 1], [3, 2, 2, 2, 1], [3, 2, 2, 1, 1, 1], [3, 2, 1, 1, 1, 1, 1], [3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2, 2], [2, 2, 2, 2, 1, 1], [2, 2, 2, 1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]]

Answer 3

Aquí hay una solución para usar paramorfismos que escribí en Haskell.

import Numeric.Natural (Natural)
import Control.Monad (join)
import Data.List (nub)
import Data.Functor.Foldable (ListF (..), para)
partitions :: Natural -> [[Natural]]
partitions = para algebra
where algebra Nothing = []
algebra (Just (0,_)) = [[1]]
algebra (Just (_, past)) = (nub . (getAll =<<)) (fmap (1:) past)
getAll :: [Natural] -> [[Natural]]
getAll = fmap (dropWhile (==0) . sort) . subsets
where subsets xs = flip sumIndicesAt xs <$> indices xs
indices :: [Natural] -> [[Natural]]
indices = join . para algebra
where algebra Nil = []
algebra (Cons x (xs, [])) = [[x:xs]]
algebra (Cons x (xs, past)) = (:) <$> [x:xs,[]] <*> past

Definitivamente no es el más eficiente, pero creo que es bastante elegante y ciertamente instructivo.

Answer 4

Cuando pides un algoritmo más eficiente, no sé a cuál comparar. Pero aquí hay un algoritmo escrito de manera directa (Erlang):

-module(partitions).
-export([partitions/1]).
partitions(N) -> partitions(N, N).
partitions(N, Max) when N > 0 ->
[[X | P]
|| X <- lists:seq(min(N, Max), 1, -1),
P <- partitions(N - X, X)];
partitions(0, _) -> [[]];
partitions(_, _) -> [].

Es exponencial en el tiempo (lo mismo que la solución de Can Berk Güder en Python ) y lineal en el espacio de pila. Pero usando el mismo truco, la memorización, puede lograr una gran mejora guardando algo de memoria y menos exponente. (Es diez veces más rápido para N = 50)

mp(N) ->
lists:foreach(fun (X) -> put(X, undefined) end,
lists:seq(1, N)), % clean up process dictionary for sure
mp(N, N).
mp(N, Max) when N > 0 ->
case get(N) of
undefined -> R = mp(N, 1, Max, []), put(N, R), R;
[[Max | _] | _] = L -> L;
[[X | _] | _] = L ->
R = mp(N, X + 1, Max, L), put(N, R), R
end;
mp(0, _) -> [[]];
mp(_, _) -> [].
mp(_, X, Max, R) when X > Max -> R;
mp(N, X, Max, R) ->
mp(N, X + 1, Max, prepend(X, mp(N - X, X), R)).
prepend(_, [], R) -> R;
prepend(X, [H | T], R) -> prepend(X, T, [[X | H] | R]).

De todos modos, debe comparar su idioma y propósitos.

Answer 5

Implementación de Java. Podría beneficiarse de la memorización.

public class Partition {
/**
* partition returns a list of int[] that represent all distinct partitions of n.
*/
public static List<int[]> partition(int n) {
List<Integer> partial = new ArrayList<Integer>();
List<int[]> partitions = new ArrayList<int[]>();
partition(n, partial, partitions);
return partitions;
}
/**
* If n=0, it copies the partial solution into the list of complete solutions.
* Else, for all values i less than or equal to n, put i in the partial solution and partition the remainder n-i.
*/
private static void partition(int n, List<Integer> partial, List<int[]> partitions) {
//System.out.println("partition " + n + ", partial solution: " + partial);
if (n == 0) {
// Complete solution is held in ''partial'' --> add it to list of solutions
partitions.add(toArray(partial));
} else {
// Iterate through all numbers i less than n.
// Avoid duplicate solutions by ensuring that the partial array is always non-increasing
for (int i=n; i>0; i--) {
if (partial.isEmpty() || partial.get(partial.size()-1) >= i) {
partial.add(i);
partition(n-i, partial, partitions);
partial.remove(partial.size()-1);
}
}
}
}
/**
* Helper method: creates a new integer array and copies the contents of the list into the array.
*/
private static int[] toArray(List<Integer> list) {
int i = 0;
int[] arr = new int[list.size()];
for (int val : list) {
arr[i++] = val;
}
return arr;
}
}

Answer 6

Se llama Partitions . [También vea Wikipedia: Partición (teoría de números) .]

El número de particiones p (n) crece exponencialmente, por lo que todo lo que hagas para generar todas las particiones necesariamente tendrá que tomar un tiempo exponencial.

Dicho esto, puedes hacer mejor que lo que hace tu código. Vea this , o su versión actualizada en Algoritmos de Python y Estructuras de Datos por David Eppstein .