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Cubriendo la Tierra con Azulejos de Mapa Hexagonal (13)

Acabo de construir un paquete R llamado dggridR que divide la superficie de la Tierra en hexágonos de igual tamaño para el análisis espacial agrupado.

Carsten hace que este sonido sea imposible en su respuesta, pero, hablando en términos prácticos, no lo es. Al introducir 12 pentágonos, el resto de los hexágonos encajan sin problemas. Dado que puede tener millones y millones de células para una grilla altamente resuelta, puede olvidarse de esos pentágonos la mayor parte del tiempo.

Las matemáticas de la transformación son complicadas. Los puedes encontrar en:

  • Crider, John E. "Ecuaciones exactas para la proyección e inversa del mapa de Fuller". Cartographica: The International Journal for Geographic Information and Geovisualization 43.1 (2008): 67-72. Web.

  • Snyder, John P. "Una proyección de mapa de área igual para globos poliédricos". Cartographica: The International Journal for Geographic Information and Geovisualization 29.1 (1992): 10-21. Web.

En el fondo dggridR confía en el software DGGRID Kevin Sahr.

También puede encontrar las siguientes referencias para ser de utilidad:

  • Gregory, Matthew J. y col. "Una comparación de métricas intercelulares en sistemas de grillas globales discretas". Computadoras, medio ambiente y sistemas urbanos 32.3 (2008): 188-203. CrossRef. Web.
  • Kimerling, Jon A. y col. "Comparación de propiedades geométricas de grillas globales". Cartografía e información geográfica Science 26.4 (1999): 271-288. Impresión.
  • Sahr, K. "Hexagonal Discrete Global GRID Systems for Geospatial Computing." Archiwum Fotogrametrii, Kartografii i Teledetekcji vol. 22 (2011): 363-376. Impresión.
  • Sahr, Kevin. "Codificación de ubicación en Aperture Icosahedral 3 Grids Globales Discretos de Hexagon." Computers, Environment and Urban Systems 32.3 (2008): 174-187. CrossRef. Web.
  • Sahr, Kevin, Denis White y A. Jon Kimerling. "Sistemas geodésicos globales discretos de grillas". Cartografía e información geográfica Science 30.2 (2003): 121-134. Impresión.

Muchos juegos de estrategia usan fichas hexagonales. Una de las principales ventajas es que la distancia entre el centro de cualquier teja y todas las tejas vecinas es la misma.

Me preguntaba si alguien tiene alguna idea sobre casarse con un sistema de mosaicos hexagonales con el sistema geográfico tradicional (longitud / latitud). Creo que sería interesante cubrir un globo terráqueo con fichas hexagonales y poder asignar una coordenada geográfica a un mosaico.

¿Alguien ha visto algo remotamente cercano a esto antes?

ACTUALIZAR

Estoy buscando una manera de subdividir la superficie de una esfera para que cada división tenga la misma área de superficie. Idealmente, los centros de subdivisiones adyacentes serían equidistantes.

Bueno, mucha gente ha señalado que no se puede azulejar la esfera con mosaicos hexagonales, tal vez te estés preguntando por qué.

Euler declaró (y hay muchas pruebas interesantes y diferentes, e incluso un libro completo) que se le dio una baldosa de la esfera en x polígonos con total y vértices totales y z vértices totales (por ejemplo, un cubo tiene 6 polígonos con 12 bordes y 8 vértices) la fórmula

x - y + z = 2

siempre se mantiene (tenga en cuenta el signo menos).

(Por cierto: es una declaración topológica por lo que un cubo y una esfera, o para ser precisos, solo su borde, es realmente el mismo aquí)

Si quieres usar solo hexágonos para formar una esfera, terminas con x hexágonos, teniendo 6 * x bordes. Sin embargo, cada par de hexágonos comparte un borde. Por lo tanto, solo queremos contar 3 * x de ellos y 6 * x vértices pero, de nuevo, cada uno de ellos está compartido por 3 hexágonos, por lo que terminas con 2 * x bordes.

Ahora, usando la fórmula:

x - 3 * x + 2 * x = 2

terminas con la declaración falsa 0 = 2 - entonces realmente no puedes usar solo hexágonos.

Es por eso que el balón de fútbol clásico se ve como lo hace, por supuesto, los modernos son más elegantes, pero el hecho básico permanece.

El viejo juego de rol de rollers usado para mapear superficies planetarias como icosahedra (abierto para imprimir en un libro). Esto produjo una gran distorsión en los hexágonos de la esquina (tienen que convertirse en pentágonos). Es posible que encuentre algo de ese material cuando busque GURPS Traveler.

Es imposible cubrir una esfera con azulejos regulares (a excepción de las "rodajas de naranja" largas y finas. Por lo tanto, la forma óptima de pixelar un mapa, dadas ciertas restricciones o requisitos, es en realidad un problema de investigación bastante difícil.

Un tipo de mosaico utilizado muy a menudo (en astrofísica) es la pixelización HEALPIX: http://healpix.sourceforge.net/

Esta pixelización satisface el requisito de área igual; Sin embargo, es imposible hacer todo equidistante.

Otra pixelización es "GLESP", que tiene algunas propiedades diferentes (y no es tan pulido como un paquete de software): http://www.glesp.nbi.dk/

Hacer que una esfera se divida en partes iguales hechas con superficies planas es una tuerca dura. Debido a esto, terminas con formas geodésicas , que no están compuestas de formas que a su vez pueden estar compuestas de triángulos de igual tamaño. Al dividir todos los hexágonos y pentágonos en triángulos, terminas con triángulos que tienen diferentes ángulos interiores, lo que lleva a una pérdida de simetría.

El único consuelo que puedo darte es que todas las formas tendrán un número limitado de triángulos que se pueden catalogar, lo que significa que para una pequeña geodésica, se pueden usar 5 o 6 triángulos repetidamente para describir todos los hexágonos y pentágonos requerido para la geodésica. Si bien las distancias no serán iguales desde el "centro" de cada triángulo / forma, al menos puede dividir el manejo de cada triángulo en un caso discreto, lo que le daría un potencial para evitar el código.

Lea "Sistemas geodésicos globales discretos de grillas" de Kevin Sahr, Denis White y A. Jon Kimerling

Puedes encontrarlo here ...

Los mosaicos hexagonales son demasiado complicados para la geometría regular aplicada a usos geoespaciales. Echa un vistazo a HTM para ver una cosa similar con triángulos o google para "Hierarchical Triangular Mesh" para otras fuentes.

No puede cubrir una esfera con hexágonos iguales, pero podría cubrirla con una geodésica, que en su mayoría es hexágonos, con 12 pentágonos en los vértices de un icosoedro, y los hexágonos ligeramente distorsionados para hacer que se abulten en una esfera.

Solo hay unos pocos poliedros platónicos que usan un solo tipo de polígono para aproximarse a una esfera. Famoso el ICOSAHEDRON y el DODECAHEDRON . Si está dispuesto a tener un poco de distorsión y algunos puntos superpuestos, puede obtener resultados justos que harán que un juego sea divertido. Pruebe ESTE ENLACE , que logra tener un área casi igual para todos los cuadros y distancias de losas bastante consistentes para los círculos de todo el mundo.

Sin embargo, ninguno de estos se asigna fácilmente al viejo sistema geográfico de proyección de longitud / latitud cilíndrica.

Una solución es simplemente EQUIRECTANGULAR un patrón de panal en el mapa de proyección EQUIRECTANGULAR y permitir TONELADAS de distorsión a medida que se acerca a los polos COMO ESTO .

¡Buena suerte con tu investigación! :)

Vieja pregunta, pero:

Las otras respuestas son correctas, ya que es imposible formar una esfera con solo hexágonos.

Sin embargo, un simple (ish) hack es:

Crea una 2d "hoja" de hexágonos:

y los compensan en espacio 3D desde el origen en 1. Luego, normalizan todos los vértices.

Esto le dará una versión "abultada" de la hoja que tiene una curva esférica agradable. El problema es que esto solo funcionará si la hoja cubre parte de la esfera.

Una solución es similar a lo que se usa para crear un piso de rejilla infinito. A medida que la esfera gira, cuando ha movido media celda, gire la esfera hacia atrás una vez que la celda esté en la dirección correspondiente. (Para el caso de los hexágonos, los números no son realmente la mitad de una celda, sino que están vinculados a las dimensiones de un mosaico hexagonal). Esto es un poco complicado en 3D, pero es factible.

Tuve una pregunta similar en 2D un tiempo atrás que puede ser útil.

https://gamedev.stackexchange.com/questions/70092/infinite-treadmilling-hexagonal-grid/70341#70341

http://healpix.sourceforge.net/ es el correcto si su restricción es mantener el mismo área al dividir la esfera en pedazos (interesante para cubrir el área proyectada en el cielo, lo mismo en los polos como en la región ecuatorial). Básicamente divide su esfera en 4 cada vez siguiendo un anillo o un esquema anidado para cumplir con la restricción del Área Igual Jerárquica. También es muy conveniente para ''desplegar'' funciones FT ((propiedad iso-latitude) en el cielo, por ejemplo, para estudiar la temperatura de los modos CMB en la misión Planck o WMAP.

También se implementa en muchos lenguajes de programación.

Además, debería mencionar otro (aunque no el mismo área), llamado Q3C para ''Quad Tree Cube'', otro esquema de partición del cielo que tiene otras ventajas (búsqueda de cono y x-match)

papel original:

http: // adsabs.harvard.edu/abs/2006ASPC..351..735K