algorithm - una - interseccion de dos circunferencias ejercicios resueltos

Calcule el área de intersección entre un círculo y un triángulo?

Question

¿Cómo se calcula el área de intersección entre un triángulo (especificado como tres pares (X, Y)) y un círculo (X, Y, R)? He hecho algunas búsquedas en vano. Esto es por trabajo, no por la escuela. :)

Se vería algo así en C #:

struct { PointF vert[3]; } Triangle;
struct { PointF center; float radius; } Circle;
// returns the area of intersection, e.g.:
// if the circle contains the triangle, return area of triangle
// if the triangle contains the circle, return area of circle
// if partial intersection, figure that out
// if no intersection, return 0
double AreaOfIntersection(Triangle t, Circle c)
{
...
}

Answer 1

¿Cuán exacto necesitas ser? Si puede aproximar el círculo con formas más simples, puede simplificar el problema. No sería difícil modelar un círculo como un conjunto de triángulos muy estrechos que se reúnen en el centro, por ejemplo.

Answer 2

Como sus formas son convexas, puede usar la estimación de área de Monte Carlo.

Dibuja un cuadro alrededor del círculo y el triángulo.

Elija puntos al azar en el recuadro y haga un recuento de cuántos caen en el círculo, y cuántos caen tanto en el círculo como en el triángulo.

Área de intersección ≅ Área del círculo * # puntos en círculo y triángulo / # puntos en círculo

Deje de elegir puntos cuando el área estimada no cambie en más de una cierta cantidad en un cierto número de rondas, o simplemente elija un número fijo de puntos según el área de la casilla. La estimación del área debe converger bastante rápido a menos que una de tus formas tenga muy poca área.

Nota: Así es cómo se determina si un punto está en un triángulo: coordenadas bicéntricas

Answer 3

Creo que no deberías aproximar el círculo como un conjunto de triángulos, en lugar de aproximar su forma con un polígono. El algoritmo ingenuo puede verse así:

1. Convierte tu círculo en un polígono con la cantidad deseada de vértices.
2. Calcula la intersección de dos polígonos (círculo convertido y un triángulo).
3. Calcula el cuadrado de esa intersección.

Puede optimizar este algoritmo combinando el paso 2 y el paso 3 en una sola función.

Lea estos enlaces:
Área de polígono convexo
Intersección de polígonos convexos

Answer 4

Si solo uno de los segmentos de línea del triángulo cruza el círculo, la solución matemática pura no es demasiado difícil. Una vez que se sabe cuando los dos puntos de intersección son, puede utilizar la fórmula de la distancia para encontrar la longitud de la cuerda.

De acuerdo con estas ecuaciones :

ϑ = 2 sin⁻¹(0.5 c / r)
A = 0.5 r² (ϑ - sin(ϑ))

donde c es la longitud de la cuerda, r es el radio, θ se convierte en el ángulo a través del centro, y A es el área. Tenga en cuenta que esta solución se rompe si más de la mitad del círculo se corta.

Es probable que no vale la pena el esfuerzo si sólo necesitas una aproximación, ya que hace varias suposiciones acerca de lo que la intersección actual se parece.

Answer 5

Suponiendo que está hablando de píxeles enteros, no reales, la implementación ingenua sería recorrer cada píxel del triángulo y verificar la distancia desde el centro del círculo hacia su radio.

No es una fórmula linda, o particularmente rápida, pero hace el trabajo bien.

Answer 6

prueba la geometría computacional

Nota: este no es un problema trivial, espero que no sea tarea ;-)

Answer 7

Mi primer instinto sería transformar todo para que el círculo está centrado en el origen, trans del triángulo a coordenadas polares, y resolver por la intersección (o encompassment) del triángulo con el círculo. En realidad no he trabajado a través de papel sin embargo, aunque por lo que eso es sólo una corazonada.

Answer 8

Llevo casi un año y medio de retraso, pero pensé que tal vez a la gente le interesaría el código que escribí y creo que lo hace correctamente. Mire en la función IntersectionArea cerca de la parte inferior. El enfoque general es seleccionar el polígono convexo circunscrito por el círculo, y luego tratar con las pequeñas tapas circulares.

Answer 9

Si desea una solución exacta (o al menos tan exacta como puede obtener usando la aritmética de punto flotante), esto implicará mucho trabajo de campo, porque hay tantos casos para considerar.

Cuento nueve casos diferentes (categorizados en la figura inferior por el número de vértices del triángulo dentro del círculo, y el número de bordes del triángulo que se cruzan o están contenidos en el círculo):

(Sin embargo, este tipo de enumeración de casos geométricos es bien conocido por ser complicado, ¡y no me sorprendería en absoluto si me perdiera uno o dos!)

Entonces el enfoque es:

1. Determine para cada vértice del triángulo si está dentro del círculo. Voy a suponer que sabes cómo hacer eso.

2. Determine para cada borde del triángulo si se cruza con el círculo. (Escribí un método aquí , o veo cualquier libro de geometría computacional). Tendrá que calcular el punto o los puntos de intersección (si los hay) para usar en el paso 4.

3. Determine cuál de los nueve casos tiene.

4. Calcule el área de la intersección. Los casos 1, 2 y 9 son fáciles. En los seis casos restantes, he dibujado líneas punteadas para mostrar cómo dividir el área de intersección en triángulos y segmentos circulares en función de los vértices originales del triángulo y en los puntos de intersección que calculó en el paso 2.

Este algoritmo va a ser bastante delicado y propenso a errores que afectan solo a uno de los casos, así que asegúrese de tener casos de prueba que cubran los nueve casos (y sugiero también permutar los vértices de los triángulos de prueba). Preste especial atención a los casos en que uno de los vértices del triángulo se encuentra en el borde del círculo.

Si no necesita una solución exacta, rastrillar las figuras y contar los píxeles en la intersección (como lo sugirieron otros dos encuestados) parece ser un enfoque mucho más fácil para el código y, en consecuencia, menos propenso a los errores.

Answer 10

Primero, me recordaré cómo encontrar el área de un polígono. Una vez que hayamos hecho esto, el algoritmo para encontrar la intersección entre un polígono y un círculo debería ser fácil de entender.

Cómo encontrar el área de un polígono

Miremos el caso de un triángulo, porque toda la lógica esencial aparece allí. Supongamos que tenemos un triángulo con vértices (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) a medida que avanzamos por el triángulo en el sentido contrario a las agujas del reloj, como se muestra en la siguiente figura:

Entonces puedes calcular el área con la fórmula

A = (x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 - x2y1- x3 y2 - x1y3) / 2.

Para ver por qué funciona esta fórmula, reorganicémosla para que esté en la forma

A = (x1 y2 - x2 y1) / 2 + (x2 y3 - x3 y2) / 2 + (x3 y1 - x1y3) / 2.

Ahora el primer término es la siguiente área, que es positivo en nuestro caso:

Si no está claro que el área de la región verde es de hecho (x1 y2 - x2 y1) / 2, entonces lea esto .

El segundo término es esta área, que nuevamente es positiva:

Y la tercera área se muestra en la siguiente figura. Esta vez el área es negativa

Añadiendo estos tres obtenemos la siguiente imagen

Vemos que el área verde que estaba fuera del triángulo es cancelada por el área roja, de modo que el área neta es solo el área del triángulo, y esto muestra por qué nuestra fórmula fue verdadera en este caso.

Lo que dije antes fue la explicación intuitiva de por qué la fórmula del área era correcta. Una explicación más rigurosa sería observar que cuando calculamos el área desde un borde, el área que obtenemos es la misma que obtendríamos de la integración r ^ 2dθ / 2, de modo que estamos integrando r ^ 2dθ / 2 de forma efectiva alrededor del límite del polígono, y por el teorema de Stokes, esto da el mismo resultado que la integración de rdrdθ sobre la región delimitada por el polígono. Dado que la integración de rdrdθ sobre la región delimitada por el polígono da el área, concluimos que nuestro procedimiento debe proporcionar correctamente el área.

Área de la intersección de un círculo con un polígono

Ahora veamos cómo encontrar el área de la intersección de un círculo de radio R con un polígono como se muestra en la siguiente figura:

Estamos interesados ​​en encontrar el área de la región verde. Podemos, como en el caso del polígono único, dividir nuestro cálculo para encontrar un área para cada lado del polígono y luego agregar esas áreas.

Nuestra primera área se verá así:

La segunda área se verá como

Y la tercera área será

De nuevo, las dos primeras áreas son positivas en nuestro caso, mientras que la tercera será negativa. Afortunadamente, las cancelaciones funcionarán para que el área neta sea de hecho el área en la que estamos interesados. Veamos.

De hecho, la suma de las áreas será área en la que estamos interesados.

Una vez más, podemos dar una explicación más rigurosa de por qué esto funciona. Deje que yo sea la región definida por la intersección y deje que P sea el polígono. Luego, de la discusión anterior, sabemos que queremos computarizar la integral de r ^ 2dθ / 2 alrededor del límite de I. Sin embargo, esto es difícil de hacer porque requiere encontrar la intersección.

En cambio, hicimos una integral sobre el polígono. Integramos max (r, R) ^ 2 dθ / 2 sobre el límite del polígono. Para ver por qué esto da la respuesta correcta, definamos una función π que toma un punto en coordenadas polares (r, θ) hasta el punto (max (r, R), θ). No debería ser confuso referirse a las funciones de coordenadas de π (r) = max (r, R) y π (θ) = θ. Entonces, lo que hicimos fue integrar π (r) ^ 2 dθ / 2 sobre el límite del polígono.

Por otro lado, dado que π (θ) = θ, esto es lo mismo que integrar π (r) ^ 2 dπ (θ) / 2 sobre el límite del polígono.

Ahora haciendo un cambio de variable, encontramos que obtendríamos la misma respuesta si integramos r ^ 2 dθ / 2 sobre el límite de π (P), donde π (P) es la imagen de P bajo π.

Usando el teorema de Stokes nuevamente, sabemos que la integración de r ^ 2 dθ / 2 sobre el límite de π (P) nos da el área de π (P). En otras palabras, da la misma respuesta que integrar dxdy sobre π (P).

Usando nuevamente un cambio de variable, sabemos que integrar dxdy sobre π (P) es lo mismo que integrar Jdxdy sobre P, donde J es el jacobiano de π.

Ahora podemos dividir la integral de Jdxdy en dos regiones: la parte en el círculo y la parte fuera del círculo. Ahora π deja puntos en el círculo solo así que J = 1 allí, entonces la contribución de esta parte de P es el área de la parte de P que se encuentra en el círculo, es decir, el área de la intersección. La segunda región es la región fuera del círculo. Hay J = 0 ya que π colapsa esta parte hasta el límite del círculo.

Por lo tanto, lo que computamos es de hecho el área de la intersección.

Ahora que estamos relativamente seguros de que sabemos conceptualmente cómo encontrar el área, hablemos más específicamente sobre cómo calcular la contribución de un solo segmento. Comencemos mirando un segmento en lo que llamaré "geometría estándar". Se muestra a continuación.

En geometría estándar, el borde va horizontalmente de izquierda a derecha. Se describe con tres números: xi, la coordenada x donde comienza el borde, xf, la coordenada x donde termina el borde, y y, la coordenada y del borde.

Ahora vemos que si | y | <R, como en la figura, entonces el borde se cruza con el círculo en los puntos (-xint, y) y (xint, y) donde xint = (R ^ 2-y ^ 2) ^ (1/2). Luego, el área que necesitamos calcular se divide en tres partes que se etiquetan en la figura. Para obtener las áreas de las regiones 1 y 3, podemos usar arctan para obtener los ángulos de los diversos puntos y luego igualar el área a R ^ 2 Δθ / 2. Entonces, por ejemplo, estableceríamos θi = atan2 (y, xi) y θl = atan2 (y, -xint). Entonces el área de la región uno es R ^ 2 (θl-θi) / 2. Podemos obtener el área de la región 3 de manera similar.

El área de la región 2 es solo el área de un triángulo. Sin embargo, debemos tener cuidado con la señal. Queremos que el área muestre ser positiva, por lo que diremos que el área es - (xint - (-xint)) y / 2.

Otra cosa a tener en cuenta es que, en general, xi no tiene que ser menor que -xint y xf no tiene que ser mayor que xint.

El otro caso a considerar es | y | > R. Este caso es más simple, porque solo hay una pieza que es similar a la región 1 en la figura.

Ahora que sabemos cómo calcular el área desde un borde en geometría estándar, lo único que queda por hacer es describir cómo transformar cualquier borde en geometría estándar.

Pero esto es solo un simple cambio de coordenadas. Dado que algunos tienen el vértice inicial vi y el vértice final vf, el nuevo vector unidad x será el vector unitario que apunta de vi a vf. Entonces xi es solo el desplazamiento de vi desde el centro del círculo punteado en x, y xf es solo xi más la distancia entre vi y vf. Mientras tanto, y está dada por el producto de cuña de x con el desplazamiento de vi desde el centro del círculo.

Código

Eso completa la descripción del algoritmo, ahora es el momento de escribir algún código. Usaré Java.

En primer lugar, dado que estamos trabajando con círculos, deberíamos tener una clase de círculo

public class Circle {
final Point2D center;
final double radius;
public Circle(double x, double y, double radius) {
center = new Point2D.Double(x, y);
this.radius = radius;
}
public Circle(Point2D.Double center, double radius) {
this(center.getX(), center.getY(), radius);
}
public Point2D getCenter() {
return new Point2D.Double(getCenterX(), getCenterY());
}
public double getCenterX() {
return center.getX();
}
public double getCenterY() {
return center.getY();
}
public double getRadius() {
return radius;
}
}

Para los polígonos, usaré la clase Shape de Java. Shape tienen un PathIterator que puedo usar para recorrer los bordes del polígono.

Ahora para el trabajo real. Separará la lógica de iteración a través de los bordes, poniendo los bordes en geometría estándar, etc., a partir de la lógica de computación del área una vez que se haya completado. La razón para esto es que en el futuro puede querer calcular algo más además o además del área y desea poder reutilizar el código teniendo que lidiar con iterar a través de los bordes.

Así que tengo una clase genérica que calcula algunas propiedades de la clase T sobre nuestra intersección de círculo poligonal.

public abstract class CircleShapeIntersectionFinder<T> {

Tiene tres métodos estáticos que solo ayudan a calcular la geometría:

private static double[] displacment2D(final double[] initialPoint, final double[] finalPoint) {
return new double[]{finalPoint[0] - initialPoint[0], finalPoint[1] - initialPoint[1]};
}
private static double wedgeProduct2D(final double[] firstFactor, final double[] secondFactor) {
return firstFactor[0] * secondFactor[1] - firstFactor[1] * secondFactor[0];
}
static private double dotProduct2D(final double[] firstFactor, final double[] secondFactor) {
return firstFactor[0] * secondFactor[0] + firstFactor[1] * secondFactor[1];
}

Hay dos campos de instancia, un Circle que solo conserva una copia del círculo, y el currentSquareRadius , que guarda una copia del radio cuadrado. Esto puede parecer extraño, pero la clase que estoy usando está realmente equipada para encontrar las áreas de una colección completa de intersecciones círculo-polígono. Es por eso que me refiero a uno de los círculos como "actual".

private Circle currentCircle;
private double currentSquareRadius;

Luego viene el método para calcular lo que queremos calcular:

public final T computeValue(Circle circle, Shape shape) {
initialize();
processCircleShape(circle, shape);
return getValue();
}

initialize() y getValue() son abstractos. initialize() establecería la variable que mantiene un total del área en cero, y getValue() simplemente devolvería el área. La definición de processCircleShape es

private void processCircleShape(Circle circle, final Shape cellBoundaryPolygon) {
initializeForNewCirclePrivate(circle);
if (cellBoundaryPolygon == null) {
return;
}
PathIterator boundaryPathIterator = cellBoundaryPolygon.getPathIterator(null);
double[] firstVertex = new double[2];
double[] oldVertex = new double[2];
double[] newVertex = new double[2];
int segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(firstVertex);
if (segmentType != PathIterator.SEG_MOVETO) {
throw new AssertionError();
}
System.arraycopy(firstVertex, 0, newVertex, 0, 2);
boundaryPathIterator.next();
System.arraycopy(newVertex, 0, oldVertex, 0, 2);
segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(newVertex);
while (segmentType != PathIterator.SEG_CLOSE) {
processSegment(oldVertex, newVertex);
boundaryPathIterator.next();
System.arraycopy(newVertex, 0, oldVertex, 0, 2);
segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(newVertex);
}
processSegment(newVertex, firstVertex);
}

Tomemos un segundo para ver initializeForNewCirclePrivate rápidamente. Este método simplemente establece los campos de instancia y permite que la clase derivada almacene cualquier propiedad del círculo. Su definición es

private void initializeForNewCirclePrivate(Circle circle) {
currentCircle = circle;
currentSquareRadius = currentCircle.getRadius() * currentCircle.getRadius();
initializeForNewCircle(circle);
}

initializeForNewCircle es abstracto y una implementación sería para almacenar el radio de los círculos para evitar tener que hacer raíces cuadradas. De todos modos, regrese a processCircleShape . Después de llamar a initializeForNewCirclePrivate , verificamos si el polígono es null (lo cual estoy interpretando como un polígono vacío) y lo devolvemos si es null . En este caso, nuestra área calculada sería cero. Si el polígono no es null , obtenemos el PathIterator del polígono. El argumento para el método getPathIterator que llamo es una transformación afín que se puede aplicar a la ruta. No quiero aplicar uno, así que solo apruebo el null .

A continuación, declaro el double[] s que hará un seguimiento de los vértices. Debo recordar el primer vértice porque el PathIterator solo me da cada vértice una vez, así que tengo que regresar después de que me haya dado el último vértice, y formar un borde con este último vértice y el primer vértice.

El método currentSegment en la siguiente línea coloca el siguiente vértice en su argumento. Devuelve un código que le dice cuando está fuera de los vértices. Esta es la razón por la cual la expresión de control para mi ciclo while es lo que es.

La mayor parte del resto del código de este método no tiene ninguna lógica relacionada con la iteración a través de los vértices. Lo importante es que una vez por iteración del ciclo while llamo processSegment y luego llamo a processSegment nuevamente al final del método para procesar el borde que conecta el último vértice con el primer vértice.

Miremos el código para processSegment :

private void processSegment(double[] initialVertex, double[] finalVertex) {
double[] segmentDisplacement = displacment2D(initialVertex, finalVertex);
if (segmentDisplacement[0] == 0 && segmentDisplacement[1] == 0) {
return;
}
double segmentLength = Math.sqrt(dotProduct2D(segmentDisplacement, segmentDisplacement));
double[] centerToInitialDisplacement = new double[]{initialVertex[0] - getCurrentCircle().getCenterX(), initialVertex[1] - getCurrentCircle().getCenterY()};
final double leftX = dotProduct2D(centerToInitialDisplacement, segmentDisplacement) / segmentLength;
final double rightX = leftX + segmentLength;
final double y = wedgeProduct2D(segmentDisplacement, centerToInitialDisplacement) / segmentLength;
processSegmentStandardGeometry(leftX, rightX, y);
}

En este método, implemento los pasos para transformar un borde en la geometría estándar como se describió anteriormente. Primero calculo el desplazamiento del segmentDisplacement , el desplazamiento desde el vértice inicial hasta el vértice final. Esto define el eje x de la geometría estándar. Hago un regreso temprano si este desplazamiento es cero.

A continuación, calculo la longitud del desplazamiento, porque esto es necesario para obtener el vector x unidad. Una vez que tengo esta información, calculo el desplazamiento desde el centro del círculo hasta el vértice inicial. El producto segmentDisplacement de esto con el segmentDisplacement me da leftX que había estado llamando xi. Entonces rightX , que había estado llamando xf, simplemente se leftX + segmentLength . Finalmente hago el producto de cuña para obtener y como se describió anteriormente.

Ahora que he transformado el problema en la geometría estándar, será fácil de tratar. Eso es lo que hace el método processSegmentStandardGeometry . Veamos el código

private void processSegmentStandardGeometry(double leftX, double rightX, double y) {
if (y * y > getCurrentSquareRadius()) {
processNonIntersectingRegion(leftX, rightX, y);
} else {
final double intersectionX = Math.sqrt(getCurrentSquareRadius() - y * y);
if (leftX < -intersectionX) {
final double leftRegionRightEndpoint = Math.min(-intersectionX, rightX);
processNonIntersectingRegion(leftX, leftRegionRightEndpoint, y);
}
if (intersectionX < rightX) {
final double rightRegionLeftEndpoint = Math.max(intersectionX, leftX);
processNonIntersectingRegion(rightRegionLeftEndpoint, rightX, y);
}
final double middleRegionLeftEndpoint = Math.max(-intersectionX, leftX);
final double middleRegionRightEndpoint = Math.min(intersectionX, rightX);
final double middleRegionLength = Math.max(middleRegionRightEndpoint - middleRegionLeftEndpoint, 0);
processIntersectingRegion(middleRegionLength, y);
}
}

El primero if distingue los casos donde y es lo suficientemente pequeño como para que el borde se cruce con el círculo. Si y es grande y no hay posibilidad de intersección, entonces invoco el método para manejar ese caso. De lo contrario, manejo el caso donde la intersección es posible.

Si la intersección es posible, calculo la coordenada x de intersección, intersectionX X y divido el borde en tres porciones, que corresponden a las regiones 1, 2 y 3 de la figura de geometría estándar anterior. Primero manejo la región 1.

Para manejar la región 1, leftX si leftX es de hecho menor que -intersectionX porque de lo contrario no habría región 1. Si hay una región 1, entonces necesito saber cuándo termina. Termina al mínimo de rightX y -intersectionX . Después de encontrar estas coordenadas x, me ocupo de esta región sin intersecciones.

Hago algo similar para manejar la región 3.

Para la región 2, tengo que hacer un poco de lógica para verificar que leftX y rightX realmente rightX una región entre -intersectionX e intersectionX . Después de encontrar la región, solo necesito la longitud de la región y , así que paso estos dos números a un método abstracto que maneja la región 2.

Ahora veamos el código para processNonIntersectingRegion

private void processNonIntersectingRegion(double leftX, double rightX, double y) {
final double initialTheta = Math.atan2(y, leftX);
final double finalTheta = Math.atan2(y, rightX);
double deltaTheta = finalTheta - initialTheta;
if (deltaTheta < -Math.PI) {
deltaTheta += 2 * Math.PI;
} else if (deltaTheta > Math.PI) {
deltaTheta -= 2 * Math.PI;
}
processNonIntersectingRegion(deltaTheta);
}

Simplemente uso atan2 para calcular la diferencia de ángulo entre leftX y rightX . Luego agrego un código para tratar la discontinuidad en atan2 , pero esto probablemente sea innecesario, porque la discontinuidad ocurre a 180 grados o 0 grados. Luego paso la diferencia de ángulo en un método abstracto. Por último, tenemos métodos abstractos y getters:

 protected abstract void initialize();
protected abstract void initializeForNewCircle(Circle circle);
protected abstract void processNonIntersectingRegion(double deltaTheta);
protected abstract void processIntersectingRegion(double length, double y);
protected abstract T getValue();
protected final Circle getCurrentCircle() {
return currentCircle;
}
protected final double getCurrentSquareRadius() {
return currentSquareRadius;
}
}

Ahora veamos la clase que se extiende, CircleAreaFinder

public class CircleAreaFinder extends CircleShapeIntersectionFinder<Double> {
public static double findAreaOfCircle(Circle circle, Shape shape) {
CircleAreaFinder circleAreaFinder = new CircleAreaFinder();
return circleAreaFinder.computeValue(circle, shape);
}
double area;
@Override
protected void initialize() {
area = 0;
}
@Override
protected void processNonIntersectingRegion(double deltaTheta) {
area += getCurrentSquareRadius() * deltaTheta / 2;
}
@Override
protected void processIntersectingRegion(double length, double y) {
area -= length * y / 2;
}
@Override
protected Double getValue() {
return area;
}
@Override
protected void initializeForNewCircle(Circle circle) {
}

}

Tiene un area campo para realizar un seguimiento del área. initialize área de conjuntos a cero, como se esperaba. Cuando procesamos un borde que no se intersecta, incrementamos el área en R ^ 2 Δθ / 2, ya que concluimos que debemos hacerlo más arriba. Para un borde de intersección, disminuimos el área en y*length/2 . Esto fue para que los valores negativos para y correspondan a áreas positivas, como decidimos que deberían.

Ahora lo bueno es que si queremos hacer un seguimiento del perímetro, no tenemos que hacer mucho más trabajo. AreaPerimeter una clase AreaPerimeter :

public class AreaPerimeter {
final double area;
final double perimeter;
public AreaPerimeter(double area, double perimeter) {
this.area = area;
this.perimeter = perimeter;
}
public double getArea() {
return area;
}
public double getPerimeter() {
return perimeter;
}
}

y ahora solo necesitamos extender nuestra clase abstracta de nuevo usando AreaPerimeter como tipo.

public class CircleAreaPerimeterFinder extends CircleShapeIntersectionFinder<AreaPerimeter> {
public static AreaPerimeter findAreaPerimeterOfCircle(Circle circle, Shape shape) {
CircleAreaPerimeterFinder circleAreaPerimeterFinder = new CircleAreaPerimeterFinder();
return circleAreaPerimeterFinder.computeValue(circle, shape);
}
double perimeter;
double radius;
CircleAreaFinder circleAreaFinder;
@Override
protected void initialize() {
perimeter = 0;
circleAreaFinder = new CircleAreaFinder();
}
@Override
protected void initializeForNewCircle(Circle circle) {
radius = Math.sqrt(getCurrentSquareRadius());
}
@Override
protected void processNonIntersectingRegion(double deltaTheta) {
perimeter += deltaTheta * radius;
circleAreaFinder.processNonIntersectingRegion(deltaTheta);
}
@Override
protected void processIntersectingRegion(double length, double y) {
perimeter += Math.abs(length);
circleAreaFinder.processIntersectingRegion(length, y);
}
@Override
protected AreaPerimeter getValue() {
return new AreaPerimeter(circleAreaFinder.getValue(), perimeter);
}
}

Tenemos un perimeter variable para realizar un seguimiento del perímetro, recordamos el valor del radius para evitar tener que llamar mucho a Math.sqrt y Math.sqrt el cálculo del área a nuestro CircleAreaFinder . Podemos ver que las fórmulas para el perímetro son fáciles.

Para referencia aquí está el código completo de CircleShapeIntersectionFinder

private static double[] displacment2D(final double[] initialPoint, final double[] finalPoint) {
return new double[]{finalPoint[0] - initialPoint[0], finalPoint[1] - initialPoint[1]};
}
private static double wedgeProduct2D(final double[] firstFactor, final double[] secondFactor) {
return firstFactor[0] * secondFactor[1] - firstFactor[1] * secondFactor[0];
}
static private double dotProduct2D(final double[] firstFactor, final double[] secondFactor) {
return firstFactor[0] * secondFactor[0] + firstFactor[1] * secondFactor[1];
}
private Circle currentCircle;
private double currentSquareRadius;
public final T computeValue(Circle circle, Shape shape) {
initialize();
processCircleShape(circle, shape);
return getValue();
}
private void processCircleShape(Circle circle, final Shape cellBoundaryPolygon) {
initializeForNewCirclePrivate(circle);
if (cellBoundaryPolygon == null) {
return;
}
PathIterator boundaryPathIterator = cellBoundaryPolygon.getPathIterator(null);
double[] firstVertex = new double[2];
double[] oldVertex = new double[2];
double[] newVertex = new double[2];
int segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(firstVertex);
if (segmentType != PathIterator.SEG_MOVETO) {
throw new AssertionError();
}
System.arraycopy(firstVertex, 0, newVertex, 0, 2);
boundaryPathIterator.next();
System.arraycopy(newVertex, 0, oldVertex, 0, 2);
segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(newVertex);
while (segmentType != PathIterator.SEG_CLOSE) {
processSegment(oldVertex, newVertex);
boundaryPathIterator.next();
System.arraycopy(newVertex, 0, oldVertex, 0, 2);
segmentType = boundaryPathIterator.currentSegment(newVertex);
}
processSegment(newVertex, firstVertex);
}
private void initializeForNewCirclePrivate(Circle circle) {
currentCircle = circle;
currentSquareRadius = currentCircle.getRadius() * currentCircle.getRadius();
initializeForNewCircle(circle);
}
private void processSegment(double[] initialVertex, double[] finalVertex) {
double[] segmentDisplacement = displacment2D(initialVertex, finalVertex);
if (segmentDisplacement[0] == 0 && segmentDisplacement[1] == 0) {
return;
}
double segmentLength = Math.sqrt(dotProduct2D(segmentDisplacement, segmentDisplacement));
double[] centerToInitialDisplacement = new double[]{initialVertex[0] - getCurrentCircle().getCenterX(), initialVertex[1] - getCurrentCircle().getCenterY()};
final double leftX = dotProduct2D(centerToInitialDisplacement, segmentDisplacement) / segmentLength;
final double rightX = leftX + segmentLength;
final double y = wedgeProduct2D(segmentDisplacement, centerToInitialDisplacement) / segmentLength;
processSegmentStandardGeometry(leftX, rightX, y);
}
private void processSegmentStandardGeometry(double leftX, double rightX, double y) {
if (y * y > getCurrentSquareRadius()) {
processNonIntersectingRegion(leftX, rightX, y);
} else {
final double intersectionX = Math.sqrt(getCurrentSquareRadius() - y * y);
if (leftX < -intersectionX) {
final double leftRegionRightEndpoint = Math.min(-intersectionX, rightX);
processNonIntersectingRegion(leftX, leftRegionRightEndpoint, y);
}
if (intersectionX < rightX) {
final double rightRegionLeftEndpoint = Math.max(intersectionX, leftX);
processNonIntersectingRegion(rightRegionLeftEndpoint, rightX, y);
}
final double middleRegionLeftEndpoint = Math.max(-intersectionX, leftX);
final double middleRegionRightEndpoint = Math.min(intersectionX, rightX);
final double middleRegionLength = Math.max(middleRegionRightEndpoint - middleRegionLeftEndpoint, 0);
processIntersectingRegion(middleRegionLength, y);
}
}
private void processNonIntersectingRegion(double leftX, double rightX, double y) {
final double initialTheta = Math.atan2(y, leftX);
final double finalTheta = Math.atan2(y, rightX);
double deltaTheta = finalTheta - initialTheta;
if (deltaTheta < -Math.PI) {
deltaTheta += 2 * Math.PI;
} else if (deltaTheta > Math.PI) {
deltaTheta -= 2 * Math.PI;
}
processNonIntersectingRegion(deltaTheta);
}
protected abstract void initialize();
protected abstract void initializeForNewCircle(Circle circle);
protected abstract void processNonIntersectingRegion(double deltaTheta);
protected abstract void processIntersectingRegion(double length, double y);
protected abstract T getValue();
protected final Circle getCurrentCircle() {
return currentCircle;
}
protected final double getCurrentSquareRadius() {
return currentSquareRadius;
}

De todos modos, esa es mi descripción del algoritmo. Creo que es bueno porque es exacto y no hay muchos casos que verificar.

Answer 11

Si tiene una GPU a su disposición, puede utilizar esta técnica para obtener un conteo de píxeles de la intersección.