physics - numericos - metodo de runge kutta
¿Por qué la integración de Verlet es mejor que la integración de Euler? (3)
El método de Euler es un esquema de integración de primer orden, es decir, el error total es proporcional al tamaño del paso. Sin embargo, puede ser numéricamente inestable, en otras palabras, el error acumulado puede abrumar el cálculo y no tener sentido. Tenga en cuenta que esta inestabilidad puede ocurrir sin importar cuán pequeño sea el tamaño de los pasos o si el sistema es lineal o no. No estoy familiarizado con la integración de verlet, por lo que no puedo hablar de su eficacia. Sin embargo, los métodos de Runge-Kutta se diferencian del método de Euler en algo más que el tamaño de un paso.
En esencia, se basan en una mejor manera de aproximar numéricamente la derivada. Los detalles precisos se me escapan en este momento. En general, el método de Runge-Kutta de cuarto orden se considera el caballo de batalla de los esquemas de integración, pero tiene algunas disadvantages . Es ligeramente disipativo, es decir, se agrega un pequeño término dependiente de la primera derivada a su cálculo que se asemeja a una fricción adicional. Además, tiene un tamaño de paso fijo que puede dar lugar a dificultades para lograr la precisión que desea. Alternativamente, puede usar un esquema de tamaño de pasos adaptable, como el método Runge-Kutta-Fehlberg , que proporciona una precisión de quinto orden para 6 evaluaciones adicionales de funciones. Esto puede reducir en gran medida el tiempo necesario para realizar su cálculo y mejorar la precisión, como se muestra disadvantages .
¿Puede alguien explicarme por qué la integración de Verlet es mejor que la integración de Euler? ¿Y por qué RK4 es mejor que Verlet? No entiendo por qué es un método mejor.
El método Verlet es bueno para simular sistemas con conservación de energía, y la razón es que es simpléctico. Para comprender esta afirmación, debe describir un paso de tiempo en su simulación como una función, f, que mapea el espacio de estado en sí mismo. En otras palabras, cada paso de tiempo se puede escribir en el siguiente formulario.
(x (t + dt), v (t + dt)) = f (x (t), v (t))
La función de paso de tiempo, f, del método Verlet tiene la propiedad especial de que conserva el volumen del espacio de estado. Podemos escribir esto en términos matemáticos. Si tiene un conjunto A de estados en el espacio de estado, entonces puede definir f (A) por
f (A) = {f (x) | para x en A}
Ahora supongamos que los conjuntos A y f (A) son suaves y agradables para que podamos definir su volumen. Luego, un mapa simpléctico, f, siempre cumplirá con que el volumen de f (A) es el mismo que el volumen de A. (y esto se cumplirá con todas las opciones agradables y suaves de A). Esto se cumple con la función de paso de tiempo del método Verlet, y por lo tanto el método Verlet es un método simpléctico.
Ahora la pregunta final es. ¿Por qué un método simpléctico es bueno para simular sistemas con ahorro de energía, pero me temo que tendrá que leer un libro para entender esto?
Si todo se desliza de forma lineal, no importará qué método usó, pero cuando sucede algo interesante ( es decir, no lineal), debe mirar más detenidamente, ya sea considerando la no linealidad directamente (verlet) o tomando pasos de tiempo más pequeños (rk4).