python - promedio - ¿Cómo se puede determinar que un punto se encuentra entre otros dos puntos en un segmento de línea?
formula de distancia python (18)
Digamos que tienes un plano bidimensional con 2 puntos (llamados a y b) en él representados por un entero xy un número entero para cada punto.
¿Cómo se puede determinar si otro punto c está en el segmento de línea definido por a y b?
Uso Python más, pero los ejemplos en cualquier idioma serían útiles.
¿Qué hay de asegurarse de que la pendiente sea la misma y que el punto esté entre los demás?
puntos dados (x1, y1) y (x2, y2) (con x2> x1) y punto candidato (a, b)
if (b-y1) / (a-x1) = (y2-y2) / (x2-x1) Y x1 <a <x2
Entonces (a, b) debe estar en línea entre (x1, y1) y (x2, y2)
Aquí está mi solución con C # en Unity.
private bool _isPointOnLine( Vector2 ptLineStart, Vector2 ptLineEnd, Vector2 ptPoint )
{
bool bRes = false;
if((Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineStart.x) || Mathf.Approximately(ptPoint.x, ptLineEnd.x)))
{
if(ptPoint.y > ptLineStart.y && ptPoint.y < ptLineEnd.y)
{
bRes = true;
}
}
else if((Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineStart.y) || Mathf.Approximately(ptPoint.y, ptLineEnd.y)))
{
if(ptPoint.x > ptLineStart.x && ptPoint.x < ptLineEnd.x)
{
bRes = true;
}
}
return bRes;
}
Aquí hay otro enfoque:
- Supongamos que los dos puntos sean A (x1, y1) y B (x2, y2)
- La ecuación de la línea que pasa por esos puntos es (x-x1) / (y-y1) = (x2-x1) / (y2-y1) .. (simplemente haciendo que las pendientes coincidan)
El punto C (x3, y3) estará entre A y B si:
- x3, y3 satisface la ecuación anterior.
- x3 se encuentra entre x1 y x2 y y3 se encuentra entre y1 y y2 (control trivial)
Aquí hay un código Java que funcionó para mí:
boolean liesOnSegment(Coordinate a, Coordinate b, Coordinate c) {
double dotProduct = (c.x - a.x) * (c.x - b.x) + (c.y - a.y) * (c.y - b.y);
if (dotProduct < 0) return true;
return false;
}
Aquí hay una forma diferente de hacerlo, con el código proporcionado en C ++. Dados dos puntos, l1 y l2, es trivial expresar el segmento de línea entre ellos como
l1 + A(l2 - l1)
donde 0 <= A <= 1. Esto se conoce como la representación vectorial de una línea si ya le interesa más que usarla para este problema. Podemos dividir los componentes xey de esto, dando:
x = l1.x + A(l2.x - l1.x)
y = l1.y + A(l2.y - l1.y)
Tome un punto (x, y) y sustituya sus componentes x e y en estas dos expresiones para resolver A. El punto está en la línea si las soluciones para A en ambas expresiones son iguales y 0 <= A <= 1. Porque resolver para A requiere división, hay casos especiales que necesitan manejo para detener la división por cero cuando el segmento de línea es horizontal o vertical. La solución final es la siguiente:
// Vec2 is a simple x/y struct - it could very well be named Point for this use
bool isBetween(double a, double b, double c) {
// return if c is between a and b
double larger = (a >= b) ? a : b;
double smaller = (a != larger) ? a : b;
return c <= larger && c >= smaller;
}
bool pointOnLine(Vec2<double> p, Vec2<double> l1, Vec2<double> l2) {
if(l2.x - l1.x == 0) return isBetween(l1.y, l2.y, p.y); // vertical line
if(l2.y - l1.y == 0) return isBetween(l1.x, l2.x, p.x); // horizontal line
double Ax = (p.x - l1.x) / (l2.x - l1.x);
double Ay = (p.y - l1.y) / (l2.y - l1.y);
// We want Ax == Ay, so check if the difference is very small (floating
// point comparison is fun!)
return fabs(Ax - Ay) < 0.000001 && Ax >= 0.0 && Ax <= 1.0;
}
Así es como lo haría:
def distance(a,b):
return sqrt((a.x - b.x)**2 + (a.y - b.y)**2)
def is_between(a,c,b):
return distance(a,c) + distance(c,b) == distance(a,b)
Así es como lo hice en la escuela. Olvidé por qué no es una buena idea.
EDITAR:
@Darius Bacon: cita un libro de "Código bello" que contiene una explicación de por qué el código abajo no es una buena idea.
#!/usr/bin/env python
from __future__ import division
epsilon = 1e-6
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x, self.y = x, y
class LineSegment:
"""
>>> ls = LineSegment(Point(0,0), Point(2,4))
>>> Point(1, 2) in ls
True
>>> Point(.5, 1) in ls
True
>>> Point(.5, 1.1) in ls
False
>>> Point(-1, -2) in ls
False
>>> Point(.1, 0.20000001) in ls
True
>>> Point(.1, 0.2001) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 1), Point(3, 5))
>>> Point(2, 3) in ls
True
>>> Point(1.5, 2) in ls
True
>>> Point(0, -1) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(1, 2), Point(1, 10))
>>> Point(1, 6) in ls
True
>>> Point(1, 1) in ls
False
>>> Point(2, 6) in ls
False
>>> ls = LineSegment(Point(-1, 10), Point(5, 10))
>>> Point(3, 10) in ls
True
>>> Point(6, 10) in ls
False
>>> Point(5, 10) in ls
True
>>> Point(3, 11) in ls
False
"""
def __init__(self, a, b):
if a.x > b.x:
a, b = b, a
(self.x0, self.y0, self.x1, self.y1) = (a.x, a.y, b.x, b.y)
self.slope = (self.y1 - self.y0) / (self.x1 - self.x0) if self.x1 != self.x0 else None
def __contains__(self, c):
return (self.x0 <= c.x <= self.x1 and
min(self.y0, self.y1) <= c.y <= max(self.y0, self.y1) and
(not self.slope or -epsilon < (c.y - self.y(c.x)) < epsilon))
def y(self, x):
return self.slope * (x - self.x0) + self.y0
if __name__ == ''__main__'':
import doctest
doctest.testmod()
Compruebe si el producto cruzado de (ba) y (ca) es 0, como dice Darius Bacon, le dice si los puntos a, byc están alineados.
Pero, como quiere saber si c está entre ayb, también debe verificar que el producto escalar de (ba) y (ca) sea positivo y que sea menor que el cuadrado de la distancia entre a y b.
En pseudocódigo no optimizado:
def isBetween(a, b, c):
crossproduct = (c.y - a.y) * (b.x - a.x) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
# compare versus epsilon for floating point values, or != 0 if using integers
if abs(crossproduct) > epsilon:
return False
dotproduct = (c.x - a.x) * (b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0:
return False
squaredlengthba = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct > squaredlengthba:
return False
return True
Compruebe si el producto cruzado de ba y ca es 0 : eso significa que todos los puntos son colineales. Si lo son, verifique si las coordenadas de c están entre ''a y b '' s. Usa las coordenadas xey, siempre y cuando a y b estén separadas en ese eje (o sean las mismas en ambos).
def is_on(a, b, c):
"Return true iff point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a, b, c)
and (within(a.x, c.x, b.x) if a.x != b.x else
within(a.y, c.y, b.y)))
def collinear(a, b, c):
"Return true iff a, b, and c all lie on the same line."
return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y)
def within(p, q, r):
"Return true iff q is between p and r (inclusive)."
return p <= q <= r or r <= q <= p
Esta respuesta solía ser un desastre de tres actualizaciones. La información valiosa de ellos: el chapter Brian Hayes en Beautiful Code cubre el espacio de diseño para una función de prueba de colinealidad: antecedentes útiles. La respuesta de Vincent ayudó a mejorar esta. Y fue Hayes quien sugirió probar solo una de las coordenadas xo y; originalmente el código tenía and en lugar de if ax != bx else .
Cualquier punto en el segmento de línea ( a , b ) (donde a y b son vectores) puede expresarse como una combinación lineal de los dos vectores a y b :
En otras palabras, si c se encuentra en el segmento de línea ( a , b ):
c = ma + (1 - m)b, where 0 <= m <= 1
Resolviendo por m , obtenemos:
m = (c.x - b.x)/(a.x - b.x) = (c.y - b.y)/(a.y - b.y)
Entonces, nuestra prueba se convierte (en Python):
def is_on(a, b, c):
"""Is c on the line segment ab?"""
def _is_zero( val ):
return -epsilon < val < epsilon
x1 = a.x - b.x
x2 = c.x - b.x
y1 = a.y - b.y
y2 = c.y - b.y
if _is_zero(x1) and _is_zero(y1):
# a and b are the same point:
# so check that c is the same as a and b
return _is_zero(x2) and _is_zero(y2)
if _is_zero(x1):
# a and b are on same vertical line
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(x2) and 0 <= m2 <= 1
elif _is_zero(y1):
# a and b are on same horizontal line
m1 = x2 * 1.0 / x1
return _is_zero(y2) and 0 <= m1 <= 1
else:
m1 = x2 * 1.0 / x1
if m1 < 0 or m1 > 1:
return False
m2 = y2 * 1.0 / y1
return _is_zero(m2 - m1)
El producto escalar entre (ca) y (ba) debe ser igual al producto de sus longitudes (esto significa que los vectores (ca) y (ba) están alineados y en la misma dirección). Además, la longitud de (ca) debe ser menor o igual a la de (ba). Pseudocódigo:
# epsilon = small constant
def isBetween(a, b, c):
lengthca2 = (c.x - a.x)*(c.x - a.x) + (c.y - a.y)*(c.y - a.y)
lengthba2 = (b.x - a.x)*(b.x - a.x) + (b.y - a.y)*(b.y - a.y)
if lengthca2 > lengthba2: return False
dotproduct = (c.x - a.x)*(b.x - a.x) + (c.y - a.y)*(b.y - a.y)
if dotproduct < 0.0: return False
if abs(dotproduct*dotproduct - lengthca2*lengthba2) > epsilon: return False
return True
La longitud del segmento no es importante, por lo tanto, no es necesario usar una raíz cuadrada, y se debe evitar ya que podríamos perder algo de precisión.
class Point:
def __init__(self, x, y):
self.x = x
self.y = y
class Segment:
def __init__(self, a, b):
self.a = a
self.b = b
def is_between(self, c):
# Check if slope of a to c is the same as a to b ;
# that is, when moving from a.x to c.x, c.y must be proportionally
# increased than it takes to get from a.x to b.x .
# Then, c.x must be between a.x and b.x, and c.y must be between a.y and b.y.
# => c is after a and before b, or the opposite
# that is, the absolute value of cmp(a, b) + cmp(b, c) is either 0 ( 1 + -1 )
# or 1 ( c == a or c == b)
a, b = self.a, self.b
return ((b.x - a.x) * (c.y - a.y) == (c.x - a.x) * (b.y - a.y) and
abs(cmp(a.x, c.x) + cmp(b.x, c.x)) <= 1 and
abs(cmp(a.y, c.y) + cmp(b.y, c.y)) <= 1)
Algunos ejemplos aleatorios de uso:
a = Point(0,0)
b = Point(50,100)
c = Point(25,50)
d = Point(0,8)
print Segment(a,b).is_between(c)
print Segment(a,b).is_between(d)
Necesitaba esto para utilizar Javascript en un lienzo html5 para detectar si el cursor de los usuarios estaba sobre o cerca de cierta línea. Así que modifiqué la respuesta dada por Darius Bacon a coffeescript:
is_on = (a,b,c) ->
# "Return true if point c intersects the line segment from a to b."
# (or the degenerate case that all 3 points are coincident)
return (collinear(a,b,c) and withincheck(a,b,c))
withincheck = (a,b,c) ->
if a[0] != b[0]
within(a[0],c[0],b[0])
else
within(a[1],c[1],b[1])
collinear = (a,b,c) ->
# "Return true if a, b, and c all lie on the same line."
((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) < (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) + 1000) and ((b[0]-a[0])*(c[1]-a[1]) > (c[0]-a[0])*(b[1]-a[1]) - 1000)
within = (p,q,r) ->
# "Return true if q is between p and r (inclusive)."
p <= q <= r or r <= q <= p
Ok, muchas menciones de álgebra lineal (producto cruzado de vectores) y esto funciona en un espacio real (es decir, continuo o punto flotante) pero la pregunta específicamente estableció que los dos puntos se expresaron como enteros y por lo tanto un producto cruzado no es el correcto solución aunque puede dar una solución aproximada.
La solución correcta es usar el Algoritmo de línea de Bresenham entre los dos puntos y ver si el tercer punto es uno de los puntos en la línea. Si los puntos son lo suficientemente distantes como para que el cálculo del algoritmo no sea efectivo (y tendría que ser realmente grande para que así sea), estoy seguro de que podría investigar y encontrar optimizaciones.
Puede usar el producto de cuña y punto:
def dot(v,w): return v.x*w.x + v.y*w.y
def wedge(v,w): return v.x*w.y - v.y*w.x
def is_between(a,b,c):
v = a - b
w = b - c
return wedge(v,w) == 0 and dot(v,w) > 0
Una respuesta en C # usando una clase Vector2D
public static bool IsOnSegment(this Segment2D @this, Point2D c, double tolerance)
{
var distanceSquared = tolerance*tolerance;
// Start of segment to test point vector
var v = new Vector2D( @this.P0, c ).To3D();
// Segment vector
var s = new Vector2D( @this.P0, @this.P1 ).To3D();
// Dot product of s
var ss = s*s;
// k is the scalar we multiply s by to get the projection of c onto s
// where we assume s is an infinte line
var k = v*s/ss;
// Convert our tolerance to the units of the scalar quanity k
var kd = tolerance / Math.Sqrt( ss );
// Check that the projection is within the bounds
if (k <= -kd || k >= (1+kd))
{
return false;
}
// Find the projection point
var p = k*s;
// Find the vector between test point and it''s projection
var vp = (v - p);
// Check the distance is within tolerance.
return vp * vp < distanceSquared;
}
Tenga en cuenta que
s * s
es el producto escalar del vector del segmento a través de la sobrecarga del operador en C #
La clave es aprovechar la proyección del punto en la línea infinita y observar que la cantidad escalar de la proyección nos dice trivialmente si la proyección está en el segmento o no. Podemos ajustar los límites de la cantidad escalar para usar una tolerancia difusa.
Si la proyección está dentro de los límites, solo probamos si la distancia desde el punto a la proyección está dentro de los límites.
El beneficio sobre el enfoque de producto cruzado es que la tolerancia tiene un valor significativo.
Utilizando un enfoque más geométrico, calcule las siguientes distancias:
ab = sqrt((a.x-b.x)**2 + (a.y-b.y)**2)
ac = sqrt((a.x-c.x)**2 + (a.y-c.y)**2)
bc = sqrt((b.x-c.x)**2 + (b.y-c.y)**2)
y prueba si ac + bc es igual a ab :
is_on_segment = abs(ac + bc - ab) < EPSILON
Eso es porque hay tres posibilidades:
- Los 3 puntos forman un triángulo => ac + bc> ab
- Son colineales y c está fuera del segmento ab => ac + bc> ab
- Son colineales yc está dentro del segmento ab => ac + bc = ab
c # De http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ -> Subject 1.02: ¿Cómo encuentro la distancia de un punto a una línea?
Boolean Contains(PointF from, PointF to, PointF pt, double epsilon)
{
double segmentLengthSqr = (to.X - from.X) * (to.X - from.X) + (to.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y);
double r = ((pt.X - from.X) * (to.X - from.X) + (pt.Y - from.Y) * (to.Y - from.Y)) / segmentLengthSqr;
if(r<0 || r>1) return false;
double sl = ((from.Y - pt.Y) * (to.X - from.X) - (from.X - pt.X) * (to.Y - from.Y)) / System.Math.Sqrt(segmentLengthSqr);
return -epsilon <= sl && sl <= epsilon;
}