math - symbolic - Ecuación de una hélice parametrizada por la longitud del arco entre dos puntos en el espacio

wolfram mathematica 11

Question

¿Cuál es la ecuación de una hélice parametrizada por la longitud del arco (es decir, una función de la longitud del arco) entre dos puntos cualesquiera en el espacio? ¿Hay alguna función para esto? ¿Cómo implemento el mismo uso de matlab o mathematica?

Answer 1

Para encontrar la parametrización de la longitud del arco de la hélice definida por

    r(t)  =  cos t i + sin t j + t k

Longitud del arco = s = Integral (a, b) {sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2 + (dz / dt) ^ 2) dt}

Primero encuentra la función de longitud de arco

     s(t) = Integral(0,t) { sqrt((sin u)^2 + (cos u)^2 + 1) du }
          = Integral(0,t) { sqrt(2) du } = sqrt(2) * t

Resolviendo para t da

    t   =  s / sqrt(2)

Ahora sustituye de nuevo para obtener

    r(s)  =  cos(s / sqrt(2)) i + sin(s / sqrt(2)) j + (s / sqrt(2)) k

¡Dejaré la última parte para ti!

Answer 2

solo para agregar a la respuesta de Mitch Wheat, las hélices no son únicas; para un eje dado, los grados de libertad son la distancia entre los giros, el radio y la fase ( P , A y phi continuación)

si generalizas a

w = 2*pi/P
r(t) = (A cos (wt-phi)) i + (A sin (wt-phi)) j + (t) k

entonces una forma de analizar la longitud de arco como una función de t (sin tener que calcular explícitamente la integral de longitud de arco) es darse cuenta de que la magnitud de la velocidad es constante; la componente de velocidad paralela al radio es 0, la componente de velocidad paralela al eje es 1 , la componente de velocidad perpendicular a ambos radios y ejes es Aw , por lo que la magnitud de la velocidad es velocidad = sqrt (1 + A ²⁾ w ² ), => arclength s = sqrt (1 + A ² w ² ) t

Necesitarías alguna manera de definir el eje, P , A y phi como una función de cualquier entrada que se te dé. Solo los puntos finales y la longitud de arco no serían suficientes.